Лінійні рівняння першого порядку

1. Загальна теорія

Рівняння, що є лінійним відносно невідомої функції та її похідної, називається лінійним диференціальним рівнянням. Його загальний вигляд такий:

Якщо, тобто рівняння має вигляд

то воно зветься однорідним. Однорідне рівняння є рівнянням зі змінними, що розділяються і розв’язується таким чином:

Розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації довільних сталих (методом невизначених множників Лагранжа). Він складається в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але вважається невідомою функцією від , тобто і . Для знаходження підставимо у рівняння

Проінтегрувавши, одержимо

.

І загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд

Якщо використовувати початкові умови, то розв’язок можна записати у формі Коші:

2. Рівняння Бернуллі

Рівняння вигляду

називається рівнянням Бернуллі. Розділимо на і одержимо

Зробимо заміну.

Підставивши в рівняння, отримаємо

Одержали лінійне диференціальне рівняння. Його розв’язок має вигляд

3. Рівняння Рікатті

Рівняння вигляду

називається рівнянням Рікатті. В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується. Відомі лише деякі частинні випадки рівнянь Рікатті, що інтегруються в квадратурах. Розглянемо один з них. Нехай відомий один частинний розв’язок. Робимо заміну і одержуємо

Оскільки - частинний розв’язок, то

Розкривши скобки і використовуючи вказану тотожність, одержуємо

Перепишемо одержане рівняння у вигляді

це рівняння Бернуллі з.