Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.

1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до -порядку включно

Зробивши заміну:

одержимо рівняння -порядку.

2) Рівняння не містить явно незалежної змінної

Будемо вважати, що - нова незалежна змінна, а - функції від. Тоді

Після підстановки одержимо диференціальне рівняння -порядку.

3) Нехай функція диференціального рівняння

є однорідної щодо аргументів .

Робимо заміну, де - нова невідома функція. Одержимо

Після підстановки одержимо

Оскільки рівняння однорідне відносно, то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо

диференціальне рівняння -порядку.

4) Нехай ліва частина рівняння

є похідної деякого диференціального вираза ступеня, тобто

У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл

5) Нехай диференціальне рівняння

розписано у вигляді диференціалів

і - функція однорідна по всім перемінним. Зробимо заміну, де - нові змінні. Тоді одержуємо

Підставивши, одержимо

Скоротивши на одержимо .

Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку.