Метод Коші

Нехай - розв’язок однорідного диференціального рівняння, що задовольняє умовам

Тоді функція

буде розв’язком неоднорідного рівняння, що задовольняє початковим умовам.Дійсно, розглянемо похідні від функції:

І, оскільки, то. Аналогічно

І, оскільки , то

Підставивши функцію і її похідні у вихідне диференціальне рівняння, одержимо

Оскільки - є розв’язком лінійного однорідного рівняння і, отже ,

У такий спосіб показано, що - є розв’язком лінійного неоднорідного рівняння.

Підставляючи в значення одержимо, що .

Для знаходження функції (інтегрального ядра) можна використати такий спосіб. Якщо лінійно незалежні розв’язки однорідного рівняння, то загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд.Оскільки є розв’язком однорідного рівняння, то його слід шукати у вигляді

Відповідні початкові умови мають вигляд

І ядро має вигляд

з одержаними функціями .

Якщо розглядати диференціальне рівняння другого порядку