Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння

Метод варіації довільної сталої полягає в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але сталі вважаються невідомими функціями. Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння

записано у вигляді.

Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

шукаємо у вигляді, де - невідомі функції. Оскільки підбором - функцій необхідно задовольнити одному рівнянню, тобто одній умові, то умову можна накласти довільно. Розглянемо першу похідну від записаного розв’язку

і зажадаємо, щоб. Розглянемо другу похідну

і зажадаємо, щоб. Продовжимо процес взяття похідних до -ї

і зажадаємо, щоб. На цьому - умова вичерпалася. І для -ї похідної справедливо

.

Підставимо взяту функцію та її похідні в неоднорідне диференціальне рівняння

Оскільки - розв’язок однорідного диференціального рівняння, то після скорочення одержимо -у умову

Додаючи перші - умови, одержимо систему

Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок

І загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння запишеться у вигляді

де - довільні сталі, а

Якщо розглядати диференціальне рівняння другого порядку

і загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд, то частинний розв’язок неоднорідного має вигляд. І для знаходження функцій маємо систему

І одержуємо з обчисленими функціями і.