Геометрична прогресія та гармонічний ряд

1. Одним з найпростіших прикладів рядів є геометрична прогресія.

Ряд вигляду

називається геометричною прогресією, число q при цьому є знаменником прогресії.

Покажемо, що геометрична прогресія (1) збігається тоді і тільки тоді, коли її знаменник за модулем менше від одиниці:

нехай Sn – п-а часткова сума ряду (1). Тоді

якщо , то із (3) знаходимо

(якщо , то ; чому це так?)

Якщо , то із (3) маємо

при. Якщо q=1, то

Якщо q= - 1, то

Отже, послідовність Sn розбіжна.

Таким чином, в усіх трьох останніх випадках геометрична прогресія розбіжна.

2. Важливим у теорії рядів є гармонічний ряд, так називають ряд

Покажемо, що гармонічний ряд розбіжний.

Для будь-якого натурального числа існує натуральне число таке, що і при . Нехай Sn – n–а часткова сума ряду. Тоді

Якщо , то іноді кажуть, що розбіжний ряд має нескінчену суму і записують Таким чином, ряд має нескінчену суму, що дорівнює , якщо a>0, або , якщо a<0.

Оскільки при , з доведеної нерівності випливає при , тобто гармонічний ряд розбіжний.