Гармонічні коливання (незатухатухаючі)

х’’+ x= 0, (31)

де - деяке додатне число.

Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція

х == A cos( t+) (32)

для будь-яких сталих A і є розв'язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв'язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв'язок рів¬няння (31).

Функція (32) для будь-яких заданих А, і  описує гармонічний коливальний процес. Число |А| називається амплітудою, а число - початковою фазою, або просто фазою коливання (32). Рівняння (31) називають рівнянням гармонічних коливань. Додатне число називають часто¬тою коливання.

Число коливань за одиницю часу визначають за формулою

Як бачимо, загальний розв'язок (32) рівняння (31) містить дві довільні сталі: амплітуду А і початкову фазу . Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,

x(t0)=x0, x’(t0)=v0. (33)

Тоді для визначення сталих А і дістанемо таку систему рівнянь:

Звідки A2cos2( t0+) + A2sin2( t0+)=x02+ ,

A2=x02 .

Можна вважати, що A>0, тоді A= .

Знаючи амплітуду A, з системи (34) за формулами тригоно¬метрії визначають початкову фазу a.

З формули (32) можна дістати інший вигляд загального розв'язку рівняння (31).

Справді, Поклавши, що дістанемо:

До такого диференціального рівняння приводять, наприк¬лад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики – коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку.

Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розгля¬нуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, для описання коливання пружини треба враховувати тертя, а для описання розряду конденсатора — внутрішній опір. При цьому в рівнянні коливань з'являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).