Актуальність роботи

В нинішній час економіка України наражається на важкі деформації, падає виробництво, росте безробіття, має місце інфляція. Для того, щоб виправити ситуацію ,що склалася на Україні необхідно побудова реальних моделей, за допомогою яких можна достатньо точно прогнозувати економічні процеси.

В нашій роботі ми вжили спробу побудови однієї з таких моделей.

Наукова новизна.

В нашій роботі ми використали засоби математичної статистики, теоретичного аналізу, теорії імовірності, системного аналізу, економетрії. Ми зробили першу спробу побудови економетричної моделі України.

Ми показали, як застосовуючи засоби економетрії можливо управляти економікою і розглянули відзнаки між регресійним аналізом і побудовою економетричної моделі.

Практична цінність.

В нашій моделі ми спробували відбити процеси, зв'язані з виробництвом, і побудували економетричну модель, показали, що можна прорахувати коефіціенти цієї моделі. Однак зараз склалася така ситуація, при якій не уміють цінувати інформацію, їй приділяється мало уваги, хоча за рубіжем вже давно навчилися її цінувати і до неї відносяться як до дуже дорогого товару. В зв'язку з цим у нас склалася ситуація інформаційного «голоду». Тому нам не вистачало статистичних даних. Ми маємо надію, що в найближчий час на Україні будуть розвиватися комп'ютерні технології і програмні продукти, буде приділятися більше уваги побудові економетричних моделей і їхньому використанню.

Апробація роботи.

Апробація моделі була вироблена на реальних статистичних даних, отриманих і взятих з збірника народної господарства, статистичних збірників, а також періодичної преси.

Завдання 1.

На базі статистичних показників змінних X(i) та Y(i), n=17, побудувати графік емпіричних змінних, вибрати форму криволінійної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості =0,9. Перевірити фактор Y на автокореляцію, а також оцінити прогноз для таких значень X: X1(p1)=15, X2(p2)=17, X3(p3)=20.

I1234567891011121314151617

X(i)6,1566,056,87,156,57,26,657,37,257,2576,96,96,76,96,75

Y(i)1213,81414,413,614,213,814,214,61714,614,415,217,414,81615,2

Рішення.

1-й крок:

1.1)взяти декартову систему координат на площині;

1.2)відкласти на ній точки (Xi; Yi), і=1,….., n;

1.3)обвести всі відкладені точки замкнутою кривою – отримати хмару розсіяння експерементальних даних;

1.4)на око провести криву, яка відповідає усередненим значенням.

У нашому випадку, по розташуванню крапок на графіку 1, можна припустити, що рівняння прямої будемо знаходити у вигляді

2-й крок:

2.1) визначити параметри моделі методом найменших квадратів (МНК) за формулами:

2.2)обчислити значення для кожного значення і занести в таблицю у якості додаткового стовбця;

2.3)побудувати графік регресійної функції

3-й крок:

3.1) обчислити залишкову дисперсію за формулою:

, де n – довжина вибірки, m – число факторів(m=1)

3.2) обчислити відносну похибку розрахункових значень регресії за формулою:

,

а середнє значення відносної похибки, як

,

4-й крок:

4.1) обчислити коефіцієнти еластичності за формулою:

, де

,

;

5-й крок:

5.1) обчислити центровані значення за формулою:

5.2) знайти коефіцієнт Стьюдента , де =1-p, =n-2( з таблиці, яку наведено звичайно у будь-якій книзі із статистики),

в нашому випадку =1.75

5.3) обчислити дисперсію:

5.4) обчислити за формулою:

5.5) з'єднати неперервною лінією на графіку всі значення і та отримані дані занести у таблицю ( отримуємо надійну зону).

6-й крок:

6.1) обчислити збурювальну змінну за формулою

, де =1, 2,…., n

6.2) визначити d- статистику за формулою

6.3) знайти верхню ( ) і нижню ( ) межу (із додатку в кінці будь-якої книги із статистики ) – d-статистика(Критерій Дарбіна-Уотсона); ;

6.4) зробити висновок про автокореляцію.

Так як , то ряд не містить автокореляцію.

7-й крок:

7.1) у рівняння підставити значення ;

Коли Xp=15, Yp=25,88365.

Коли Xp=17, Yp=28,61847.

Коли Xp=20, Yp=32,7207.

7.2) знайти межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою

Коли Xp=15, Yp=12,318.

Коли Xp=17, Yp=15,207.

Коли Xp=20, Yp=19,567.

7.3) записати межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень ( ; ).

(13,56565; 38,20165)

(13,41147; 43,82547)

(13,1537; 52,2877)

nX(i)Y(i)Xi2X(i)Y(i)

U(i)Ui2i

Ui – Ui-1(Ui – Ui-1)2

16,151237,822573,813,78207-1,78207153,17577883-14,8506-0,641180,4111071,11243812,6696314,89451

2613,83682,813,576960,223040,049746841,616232-0,791180,6259591,30435812,272614,881322,0051124,020472

36,051436,602584,713,645330,35466950,125790452,533354-0,741180,5493421,23933212,40614,884660,1316290,01732646,814,446,2497,9214,67089-0,2708880,07338031-1,881170,0088247,79E-050,59175614,0791315,26264-0,625560,391322

57,1513,651,122597,2415,14948-1,54948152,40089292-11,39320,3588240,1287550,79244414,3570415,94193-1,278591,634801

66,514,242,2592,314,26067-0,0606650,00368024-0,42722-0,291180,0847830,73009613,5305714,990761,4888172,216575

77,213,851,8499,3615,21785-1,4178522,01030429-10,27430,4088240,1671370,84310614,3747516,06096-1,357191,841957

86,6514,244,222594,4314,46578-0,26577650,07063715-1,87167-0,141180,0199310,62692413,8388515,09271,1520761,327278

97,314,653,29106,5815,35459-0,7545930,5694106-5,168450,5088240,2589020,9533814,4012116,30797-0,488820,238942

107,251752,5625123,2515,286221,71377752,9370333210,081040,4588240,2105190,8969314,3892916,183152,4683716,092853

117,2514,652,5625105,8515,28622-0,68622250,47090132-4,700150,4588240,2105190,8969314,3892916,18315-2,45,76

12714,449100,814,94437-0,544370,2963387-3,780350,2088240,0436070,66644514,2779315,610810,1418530,020122

136,915,247,61104,8814,807630,3923710,1539552,5813880,1088240,0118430,61284114,1947915,420470,9367410,877484

146,917,447,61120,0614,807632,5923716,720387414,898680,1088240,0118430,61284114,1947915,420472,24,84

156,714,844,8999,1614,534150,2658530,070677821,796304-0,091180,0083130,60659213,9275615,14074-2,326525,412686

166,91647,61110,414,807631,1923711,42174867,4523190,1088240,0118430,61284114,1947915,420470,9265180,858436

176,7515,245,5625102,614,602520,59748250,356985343,930806-0,041180,0016950,594714,0078215,19722-0,594890,353892

Сума115,5249,2786,79751696,13249,21,55E-0520,9076491-9,4578E-062,75617613,69395235,506262,89392,37955435,90415

Таблиця 2

Завдання 2.

На базі статистичних даних показників змінних x (t) за n=18 місяців побудувати графік тренду зміни x (t), вибрати форму однофакторної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості =0.9.Перевірити показник Х на автокореляцію, а також оцінити для наступних трьох місяців прогноз значення x (tр):

tX (t)

19,51

211,62

311,22

415,22

513,99

615,18

714,98

817,88

916,78

1018,94

1120,98

1215,71

1320,74

1424,7

1520,78

1620,74

1719,75

1823,92

k кор.0,899208

Рішення:

Побудуємо графік тренду зміни Х(t)

Введемо гіпотезу про те, що зміну Х(t) розподілено за законом X(t)=btα.Визначимо параметри цієї регресії:

18 18

α=( Σ t 1 x 1 (t)-18 t 1 x 1 (t) )/(Σ x 1 2 (t)-18 x 1 2 ) =0.3081

t=1 t=1

b 1=x 1(t)-α t 1=2.2002.

Де х 1 (t)=ln x(t), t 1 =ln t ,α 1 = α ,b 1= ln b.Звідки a=0.3081,b=9.0268.

Дисперсію визначаємо за формулою:

n

S2= Σ(x 1-x)2/( n-p-1)=1.9044

i=1

Вибірковий коефіцієнт детермінації :

n n

R=(1-((xi-xi)2/(xi-x)2))1/2= 0.9095

i=1 i=1

Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення Fp-критерію Фішера:

Fp=x2/S2=5.445,

n

де x2= Σ(x 1-x)2/(n-1).Оскільки Fрозр>Fтабл=1,95,то прийнята

i=1

модель адекватна експерементальним даним.

Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

x1i=ta,kS/n1/2(1+(x1i-x1)2/x12)1/2

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами :

YiYi=exp(Y1iY1i).

Складемо таблицю1.

Визначимо автокореляцію за формулою:

n n

d= Σ(lt-lt-1)2/Σlt2=2.425.

t=2 t=1

Визначимо границі d-статистики: d1=1.16,dn=1.39.Оскільки виконується нерівність dn
Для оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

X1p=ta,kS/n1/2(1+n+(X1i-X1)2/x12)

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами:

YpYp=exp(Y1pY1p)

Складемо таблицю 2.

Таблиця 1.

tx(t)t1x1 (t)x1rxrx1xminxvf[

19,5102,25232,20029,02682,64610,6402127,267

211,620,69312,45272,413711,17571,88111,703473,3196

311,221,09862,41772,533812,66261,47542,895855,371

415,221,38632,72262,627313,83621,2284,052247,2427

513,991,60942,63832,69614,82021,07675,049843,4978

615,181,79182,722,752215,67710,99225,812342,2844714,981,94592,70672,799716,43960,95616,319342,7674

817,882,07942,88372,840817,130,95416,597444,4772

916,782,19722,82022,877117,7630,97536,697847,1082

1018,942,30262,94132,909618,3491,01146,673850,4487

1120,982,39793,04362,938918,89581,05686,569554,3499

1215,712,48492,75432,965719,40921,10686,416958,7071

1320,742,56493,03212,990419,89371,15986,237763,446

1424,72,63913,20683.013220,35321,21386,046368,5134

1520,782,70813,0343,034520,79041,26785,851473,8702

1620,742,77263,03213,054421,20791,32125,658579,4872

1719,752,83322,98323,073121,60771,37365,470985,342

Таблиця 2.

txlp(t)xp(t)xlpxpminxpmax

193.107322.36107.14630.017628385.4

203.123122.71727.15650.017729131.4

213.138223.06127.16660.017829874.0

Відповідь.

З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель:Yr=9.0268X0.3081.

Для tp=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).

Для tp=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29131,4).

Для tp=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29874,0).

Завдання 3.

Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D,збережень S та заробітної плати L.Оцінить коефіцієнти детермінації,автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами.Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C,D,S,L подані у тис $).

Дано:

ІС(і)D(i)S(i)L(i)

19,0810,1112,299

210,9212,7211,518,03

312,4211,7811,469,66

410,914,8711,5511,34

511,5215,321410,99

614,8816,6311,7713,23

715,216,3913,7114,02

814,0817,9313,412,78

914,4819,614,0114,14

1014,718,64162514,67

1118,3418,9216,7215,36

1217,2221,2214,415,69

1319,4221,8418,1917,5

Рішення:

Припустимо, що між показником Ŷ і чинниками Х1 Х2 Х3 існує лінійна залежність Ŷ=А1Х1+А2Х2+А3Х3 . Знайдемо оцінки параметрів,використовуючи матричні операції. Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]T[X]ā=[X]TY. Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]T[X]]-1, то для оцінки параметрів вектора ā отримаємо формулу:

ā=[[X]T[X]]-1[X]Ty, звідки а1 =0,0603; а 2=0,151;а3=0,859.

Складемо таблицю:

І D(i) S(i) L(i) C(i) Cроз (i)1

110,1112,2999,0810,19541,1154

212,7211,518,0310,929,4018-1,5182

311,7811,469,6612,4210,7376-1,6824

414,8711,5511,3410,912,38031,4803

515,321410,9911,5212,47680,9568

616,6311,7713,2314,8814,1429-0,7371

716,3913,7114,0215,215,1-0,1

817,9313,412,7814,0814,08090,0009

919,614,0114,1414,4815,44180,9618

1018,6416,2514,6714,716,17741,4774

1118,9216,7215,3618,3416,8579-1,4821

1221,2214,415,6917,2216,9296-0,2904

1321,8418,1917,519,4219,0939-0,3261

Коефіцієнт множинної детермінації:

13 13

R2=1-Σ(yi-ŷi)2/Σ(y-ỳ)2=0.863

I=1 i=1

Визначимо автокореляцію за формулою:

13 13

d=Σ(lt–lt-1 )2/Σlt2=2.0531.

t=2 t=1

Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х2 . Розрахункове значення Х2 знаходимо за формулою:

Х2р=[n-1-1/6(2m+5)]ln│[X]T [X]│=3.1025

Для довірчої ймовірності р=0.95 і числа ступенів волі 1/2m(m-1)=3 X2=7.8.Оскільки розрахункове значення менше критичного,то можна вважати,що загальноі мультиколінеарності не існує.

Відповідь:

Коефіцієнт детермінації R2=0.863,автокореляція та загальна мультиколінеарність відсутні.

Завдання 4.

Проаналізуйте модель виробничої функції типу Кобба-Дугласа,що описує залежність між продуктивністю праці y=y/l та фондоозброєністю x=k/l з урахуванням впливу технічного прогресу у виробництво регіону.Оцініть параметри моделі,коефіцієнти детермінації та автокореляції за такими статистичними показниками Y ,k та L за 12 років.

TY(t)k(t)L(t)

154,244,4111,89

249,564,9711,04

352,326,6311,46

473,927,3915,56

567,27,4415,67

664,448,3117,44

780,048,915,71

893,1212,1219,91

995,414,7716,52

1090,5415,0621,54

11116,9414,2117,9

Рішення:Виробничою функцією називають функцію,яка описує кількісну залежність причинно-наслідкових відносин між результатом економічного процесу і умовами його одержання,хоча б частина з яких керована.В загальному випадку функція Кобба-Дугласа має вигляд:ŷ=b0x1b1x2b2…xmbm,де ŷ -продуктивність ; x1, x2,…, xm –впливові фактори ;b0 -нормований множник ; b1, b2, bm -коефіціенти еластичності.

Припустимо ,що між показником у – продуктивність праці і фактором х- фондоозброєність існує стохастична залежність : ŷ=bx2 (виробнича регресія Кобба-Дугласа).для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y1=Ln(y), X1=Ln(x) та b1=lnb отримаємо приведену лінійну регресію Y1= b1+a X1 . Оцінки параметрів і для цієї регресії визначаються за формулами:

n n n n n

a=(nΣX1i Y1i - Σ X1i Σ Y1i)/(n Σ X 21i - (Σ X1i)2 ) =0.3695

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

- -

b1=Υ1-aΧ1=1.7655,b=exp(b1)=5.8444.

Складемо таблицю:

tY(t)k(t)L(t)x=k/lxyyy

154.244,4111,890,3709-0,99181,51771,398964,0651

249.564,9711,040,4502-0,79811,50171,4705434,3516

352.326,9311,460,6047-0,5031,51851,5795984,853

473.927,3915,560,4749-0,74461,55831,4903254,4385

567.207,4415,670,4748-0,74491,45591,4902144,438

664.448,3117,440,4765-0,74131,3071,4915334,4439

780.048,9015,710,56650,56821,62821,5554884,7374

893.1212,1219,910,6087-0,49641,54271,5820514,8649

995.4014,7716,520,8941-0,1121,75351,7241025,6075

1090.6415,0621,540,6992-0,35791,43591,6332325,1204

11116.9414,2117,90,7939-0,23091,87691,680175,3665

Коефіцієнт множинної детермінації

11 11

R2=1-Σ(y1i-ŷ1i)2/Σ (yl1-ý1)2 =0,4370.

t=1 t=1

Визначемо наявність автокореляції обчисливши d-статистику за формулою:

11 11

d = Σ(lt- lt-1 )2/Σ lt2 = 2,4496.

t=2 t=1

Оскільки значення d-статистики наближене до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.

Відповідь:

Статистичним показникам відповідає класична модель Кобба-Дугласа з параметрами:

Y=5.8444*X0.3695

Коефіцієнт множинної детермінації R =0.437, при цьому автокореляцію можна вважвти відсутньою.

Завдання 5.

Визначить параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону на підставі статистики за 12 років:

,

,

де e(t) – стохастичне відхилення, похибка; C(t) – споживання; Y(t) – національний дохід; I(t) – інвестиції (всі дані у тис.$).

Дано:

tC(t)Y(t)I(t)

158,87,39,22

267,49,5613,82

368,911,115,02

480,112,0417,08

570,4513,3418,94

684,3513,2620,36

777,2515,421,56

881,413,9822,2

973,3516,8627,56

1077,9515,8830,36

1177,6518,9828,14

1282,3517,1831,46

Рішення.

Введемо гіпотезу про те, що змінну C(t) розподілено за законом лінійної парної регресії, тобто . Визначимо параметри цієї регресії:

.

Складемо таблицю:

TC(t)Y(t)I(t)C(t)Y(t)Y2Cr(t)e(t)

158,87,39,22429,2453,2965,43599-6,63599

267,49,5613,82644,34491,393668,79084-1,39084

368,911,115,02764,79123,2171,07689-2,17689

480,112,0417,08964,404144,961672,472277,627726

570,4513,3418,94939,803177,955674,40206-3,95206

684,3513,2620,361118,481175,827674,283310,0667

777,2515,421,561189,65237,1677,46002-0,21002

881,413,9822,21137,972195,440475,35216,047897

973,3516,8627,561236,681284,259679,62731-6,27731

1077,9515,8830,361237,846252,174478,17255-0,22255

1177,6518,9828,141473,797360,240482,77434-5,12434

1282,3517,1831,461414,773295,152480,102342,247663

Сумма899,95164,88255,7212551,782391,066899,95-2,6E-05