Форми представлення чисел

Форми представлення чисел

Ми звикли вести рахунок десятками (10 одиниць утворює десятку, 10 десятків - сотню і т.д.), тобто вести рахунок у десятковій системі числення. Рахувати можна не тільки десятками. Існують і інші системи числення.

Під системою числення розуміють сукупність правил зображення чисел цифровими знаками.

Розрізняють позиційні й непозиційні системи числення.

В непозиційних системах числення вага кожного знака не залежить від його положення по відношенню до інших знаків у числі, кількість знаків не обмежена.

У римській системі числення: I - 1, V - 5, X - 10 і т. д.

В одиничній системі числення число сім представляється сімома одиничками: (7)10 = (1111111)1

Недоліками непозиційних систем числення є:

•громіздкість зображення чисел;

•труднощі у виконанні операцій.

Наочність зображення чисел і відносна простота виконання операцій характерні для позиційних систем числення.

Система числення називається позиційною, якщо при записуванні числа одна і таж цифра має різне значення, яке визначається місцем (позицією), на якому вона знаходиться.

В позиційній системі числення для записування числа використовується обмежена кількість знаків - цифр, яка визначає назву системи числення і називається її основою.

Араби взяли за основу число 10, тому що в якості обчислювального пристрою вони використовували 10 пальців рук. В десятковій системі числення для записування числа використовується десять цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 і основою є число 10. Число у десятковій системі числення можна представити у вигляді полінома (у вигляді степенів десяти):

(327)10 = 3•102+2•101 + 7•100 (33,3)10 = 3•101 + 3•100 + 3•10-1

Система числення з основою N=2 є позиційною системою числення і нічим не відрізняється від позиційної система числення з будь-якою основою Але для комп'ютера ця система числення має вагомі переваги, які полягають у тому, що її алфавіт має всього два символи. Для фіксації цих символів достатньо мати деякий пристрій, що може мати два суттєво різних і стійких стани.

Для людини двійкова система є громіздкою. Їй звична десяткова система, у якій відпрацьовані прийоми записування чисел по його імені, визначення імені по запису, визначення ваги числа по його запису й імені, відпрацьовані прийоми додавання, віднімання, множення й ділення будь-яких чисел. У двійковому записі числа важко визначити його значення, немає поняття імені саме двійкового числа, важко зіставити ланцюжок 1 і 0 із його змістом. Виникає потреба перетворювати двійкові записи у десяткові і навпаки.

Приклади:

(5)10 = (101)2 = 1•22 + 0•21 + 1•20 (15)10 = (1111)2 = 1•23 + 1•22 + 1•21 + 1•20

В обчислювальній техніці і програмуванні значне місце займають вісімкова й шістнадцяткова системи числення. Вони використовуються для скороченого запису двійкових кодів.

У вісімковій системі числення в якості цифр використовують символи: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. В шістнадцятковій системі потрібно 16 символів, в якості яких використовують арабські цифри і п'ять букв латинського алфавіту, що утворюють послідовність (із врахуванням ваги шістнадцяткових цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, E, F.

Приклади:

(75,67)8 = 7•81 + 5•80 + 6•8-1 + 7•8-2 (1FC,B)16 = 1•162 + 15•161 + 12•160 + 11•16-1

Десяткові еквіваленти символів A, B, C, D, E, F:

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15

Переведення цілого числа з десяткової системи числення у будь-яку іншу здійснюється шляхом послідовного ділення числа на основу нової системи числення. Ділення виконується до тих пір, поки остання частка не стане менше дільника. Отримані остачі від ділення, взяті у зворотному порядку, будуть значеннями розрядів числа в новій системі числення. Остання частка дає старшу цифру числа.

Приклад: (24)10 = (?)2

(24)10 = (11000)2

Приклад: (143)10 = (?)8

(143)10 = (217)8

Приклад: (687)10 = (?)16

(687)10 = (2AF)16

Для переведення правильного дробу з десяткової системи числення у будь-яку іншу потрібно помножити заданий дріб на основу нової системи числення. Отримана ціла частина добутку буде першою цифрою після коми дробу в новій системі числення. Далі по черзі множаться дробові частини добутків на основу нової системи. Отримані цілі частини добутків будуть цифрами дробу у новій системі числення. Цей процес продовжують до тих пір, поки не буде знайдено число із заданою точністю.

Приклад: ( 0,125 )10 = ( ? )2; ( 0,125 )10 = ( ? )8; ( 0,125 )10 = ( ? )16.

( 0,125 )10 = (0,001)2; ( 0,125 )10 = (0,1)8; ( 0,125 )10 = (0,2)16.

Приклад: (0,365)10 = (?)16

(0,365)10 = (0,5D)16

Для переведення змішаного числа з десяткової системи числення в іншу необхідну окремо перевести цілу й дробову частини за вказаними правилами, а потім об'єднати результати у змішане число.

Для переведення чисел із будь-якої системи числення в десяткову необхідно це число представити у вигляді полінома і розкрити всі члени полінома в десятковій системі числення.

Приклад:

Приклад:

Приклад:В ЕОМ операції віднімання, множення, ділення здійснюються за допомогою операції додавання. Наприклад, при відніманні від'ємник записується у доповняльному коді і віднімання заміняється додаванням.

Приклад: 23 + 22 = 45

<>

Приклад: 23 - 13 = 23 + (-13 ) = 10

(-13)10 = (1 0001101)пр. = (1 1110010)об. = (1 1110011)доп.

Приклад: 7 - 13 = 7 + (-13) = -6

Оскільки результат від'ємний (біт знаку містить одиницю), то він представлений у доповняльному коді. Для перевірки правильності виконання операції потрібно перейти до прямого коду, який визначає абсолютне значення результату. Для цього потрібно:

1. відняти від доповняльного кода 1: 11111010доп. - 00000001 = 11111001об.

2. проінвертувати обернений код для переходу до прямого: 10000110пр.

Приклад: (- 7 - 13) = (-7) +(-13) = -20

(-7)10

Прямий код: 1 0000111

Обернений код: 1 1111000

Доповняльний код: 1 1111001

(-13)10

Прямий код: 1 0001101

Обернений код: 1 1110010

Доповняльний код: 1 1110011

1 0010100пр. - прямий двійковий код числа ( -20 )10

[http://www.vn.iatp.org.ua/web3/works/sch/77/html/p05.htm]