Міра та периметр об’єднання прямокутників

Задача. Міра об’єднання інтервалів. Дано N інтервалів [a1, b1], [a2, b2], ..., [aN, bN] на дійсній прямій. Необхідно знайти їх міру об’єднання.

Відсортуємо абсциси a1, b1, a2, b2, ..., aN, bN у масиві X[1 : 2N], при чому права кінцева точка розташовується у масиві після лівої точки з такою ж абсцисою: якщо ai розташовано в X[h], bj – в X[k] і ai = bj, то h < k. Далі за лінійний час преглядається масив і обчислюється міра об’єднання інтервалів.

Приклад. Нехай дано 5 інтервалів: {3,7},{2,5},{5,12}, {14,20},{5,13}.

Вони покривають інтервали від 2 до 13 та від 14 до 20, отже їх міра дорівнює 11 + 6 = 17.

Міра об’єднання інтервалів на осі

X[0] X[1];

m 0; /* міра об’єднання */

C 0; /* кількість інтервалів що перетинаються */

for i 1 to 2*N do

begin

if (C 0) then m m + X[i] - X[i - 1];

if (X[i] – ліва кінцева точка) then C C + 1;

else C C - 1;

end;

Задача. e -близькість. Дано N + 1 дійсне число x1, x2, ..., xN та e > 0. Чи знаходяться деякі два числа xi та xj на відстані, меншій за e одне від іншого.

Теорема. Задача e -близькість лінійно зводиться до задачі міра об’єднання інтервалів.

Доведення. Побудуємо інтервали [xi, xi + e] для i = 1, 2, ..., N, які будуть входом для процедури міра об’єднання інтервалів. Результатом її роботи буде значення m (міра). Жодні два числа з множини {x1, x2, ..., xN} не будуть знаходитися на відстані, меншій за e одне від іншого тоді і тільки тоді, коли m = N * e.