Економіко – математичне моделювання

Зміст

1.Вступ.

2.Розвиток методології економіко-математичного моделювання:

a)Історія економіко - математичної ідеї;

b)Економіко-математичні методи і моделі в працях зарубіжних дослідників;

c)Економіко-математичні методи і моделі в працях вітчизняних економістів.

3.Математичне моделювання і зовнішньополітичні дослідження:

a)Проблема методу в політичних дослідженнях;

b)Необхідність побудови математичних моделей зовнішньополітичної поведінки на єдиній методологічній основі;

c)Функціональні простори і проблема представлення залежності як суперпозиції елементарних;

d)Основні підходи використовування систем індикаторів для аналізу зовнішньополітичних процесів;

e)Простір індикаторів в системі міжнародних відносин: основні задачі метатеорії.

4.Висновок.

5.Список використаної літератури.

Вступ

Математичне моделювання як кількісний інструментарій дослідника по суті своїй належить не тільки математиці - воно має самостійне значення, і свою історію. Примітно, що один і той же математичний апарат зустрічається в описі різних об'єктів в різних наукових дисциплінах. Тим самим математичне моделювання є міждисциплінарною категорією. Математичні методи, що зарекомендували себе в першу чергу у фізиці і інших природничонаукових дисциплінах, згодом з розвитком самої математики знайшли успішне вживання і в гуманітарних науках. Економіко-математичне моделювання і моделювання політичної сфери виявляють собою наочний приклад плідного вживання математичної ідеї в наукових дослідженнях.

1.1. РОЗВИТОК МЕТОДОЛОГІЇ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

1.1.1. Історія економіко - математичної ідеї

Розвиток методології економіко-математичного моделювання має довгу історію. Становлення двох по суті різних наукових дисциплін - економіки і математики - протягом багатьох століть проходило по власних законах, що відображали природу цих дисциплін, і одночасно стикаючись один з одним.

Зародження економіко-математичної ідеї сходить коренями до глибокої старовини. Так, зведення законів царя Хаммурапі (1792-1790 рр. до н.е.) дає можливість зробити висновок про вельми значний розвиток товарно-грошових відносин у Вавілонії. В трактаті Ксенофонта (430-354 рр. до н.е.) „Про домашнє господарство”, а також „Про доходи” вводиться поняття мінової вартості товару як здібності обмінюватися на інший товар. В трактаті Арістотеля (384-322 рр. до н.е.) „Політика” гроші виступають в ролі вимірювача при обміні, і т.п. Тим самим ще в глибокій старовині з розвитком товарно-грошових відносин в економіці з'являються кількісні величини як міра якості, що можна характеризувати як вживання арифметики в економіці. Поступово наївне уявлення про число як мірі розширилося до розуміння того, як збирати і систематизувати дані. Це розуміння привело до створення дисципліни „статистика”, сам термін якої довгий час вважався синонімом терміну „державознавство”. Так, в німецькому виданні за статистикою, випущеному в 1774 р., затверджується, що „статистика, або державознавство - це наука або область знань про сучасне політичне положення держави”. Потреба в зборі і систематизації даних про ті або інші особливості людського буття сходить настільки далеко, що є всі підстави вважати, що першим статистиком був Бог і статистика як збір даних створена їм разом з світом: „... і сказав господа Мойсею: пішли від себе людей, щоб вони виглянули землю Ханаанську, яку я даю синам ізраїлевим і послав Мойсей людей виглянути землю Ханаанську і сказав їм: підіть в цю південну сторону, і зійдіть на гору, і огляньте землю, яка вона і народ, що живе в ній - сильний він або слабкий, нечисленний або численний”. Очевидно, апофеозом арифметичного підходу в економічних ідеях з'явилися ідеї Уїльяма Петі (1623-1687), основоположника так званої класичної школи політичної економії в Англії. В своїй „Політичній арифметиці” У. Петі показав, що його привертають перш за все статистичні зіставлення, розрахунки, цифри. В ній У. Петі обґрунтував початкові положення статистики, відзначивши, що „точна обізнаність государів про майно їх підданих не несе останнім ніякої шкоди”. Признається, що історично перша модель національної економіки створена французьким економістом Франсуа Кене (1694-1774), яка одержала назву „Економічна таблиця Кене”, в якій містилися зачатки моделей економічної динаміки.

Успіхи вживання математичних методів в економіці яскраво виявилися за часів розвитку самої математики, її основоположних досягнень, пов'язаних з розвитком математичного аналізу.Математизація науки є закономірним і природним процесом. Якщо диференціація наукового знання приводить до появи нових гілок науки, то інтеграційні процеси в пізнанні миру приводять до своєрідної дифузії наукових ідей з однієї області в іншу. В XVIII столітті Еммануїл Кант не тільки проголошує гасло „всяка наука остільки наука, оскільки вона математика), але і кладе ідеї аксіоматичної побудови геометрії Евкліда в палю концепцію апріорізму. Тоді як в природознавстві математика швидко і міцно зайняла ведучі позиції, в області соціальних наук її успіхи виявилися скромніше. Вживання математичних методів виявилося виправданим там, де поняття носять стабільний характер і стає змістовною задача встановлення зв'язку між цими поняттями, а не нескінченного перевизначення самих понять. Моделювання є дієвим інструментарієм, що дозволяє пояснювати і прогнозувати досліджуваний спостережуваний об'єкт. Представники точних (природних) і гуманітарних наук в поняття моделі вкладають неоднакове значення - спостерігається так : звана методологічна дихотомія, коли протиставляється інтуїтивно-логічний підхід представників гуманітарних наук аналітико-прогностичному підходу, зв'язаному із застосуванням методів точних наук. Математизація економічної науки не в останню чергу обумовлена прагненням вдягнутися свої положення і ідеї в точні абстрактні математичні форми і моделі, бажанням деідеологувати свої результати. В теж час математика в економіці дозволяє точно прорахувати і прогнозувати окремі процеси, що складає очевидну перевагу перед методом „на очко”.

На думку відомого російського дослідника професора Мапихіна В.И. вживання математичних методів в економіці йде по трьох напрямах: математична економіка, математичні моделювання економіки і економіко-математичні методи. При цьому математична економіка розуміється як чисто математична теорія економіки - аксіоми від економіки, інше від математики. Дисципліна припускає надзвичайно високий рівень абстракції, докази теорем використовується могутні математичні методи (теорема нерухомої крапки, селекції багатозначних відображень і т.п. Математичне моделювання економіки - цей опис математичних моделей економіки їх створення, аналіз. Такими є, наприклад, моделювання виробничих процесів, моделі співпраці і конкуренція, моделі ринків, глобальні моделі міжгалузевого балансу, моделі Солоу, Неймана і т.п. Нарешті, економіко-математичні методи як сукупність математичних методів, що використовуються для створення математичних моделей економіки. До таких, наприклад, відносяться: лінійне програмування, нелінійне і динамічне програмування, методи дослідження операцій, у тому числі теорія ігор і т.п.

Ці висновки є видимими ще в роботах французького дослідника А. Курний: „дослідження про математичні принципи теорії багатств” від 1838 р., де систематично використовуються математичні методи. В своїй книзі в 1874 р. У. Вальрас писав: „чиста теорія економіки є наука, що нагадує у всьому фізико-математичні науки...ми повинні узяти з практики основні поняття, такі як обмін, попит, пропозицію, ринок, капітал, дохід, послуги, продукти. Від цих реальних понять треба абстрагуватися і визначити відповідні ідеальні поняття. Звернення до дійсності і практичного вживання потім можливо тільки після створення теорії... чиста теорія повинна передувати прикладній економіці”.

На ранньому етапі розвитку математичної економіки в XVIII-XIX столітті основним математичним апаратом було диференціальне і інтегральне числення. Останнім часом різні математичні теорії сталі інструментом рішення економіко-математичних задач - це в першу чергу лінійне програмування, теореми про нерухому крапку і теорія лінійних операторів, а також теорія ігор. Математичний апарат став тією методологічною основою, яка об'єднує клас економічних задач” допускаючих математичну: формалізацію. Як відзначив академік А.Н. Колмогоров: „в нерозривному зв'язку із запитами техніки і природознавства запас кількісних відносин і просторових форм вивчаються математиками, безперервно розширяється так, що визначення математики наповнюється все більш багатим змістом”. Не слід думати, що математизація економічних досліджень сприймається в економічних кругах як абсолют. Так, нобелівський лауреат Р. Лукас в 1993 р. писав: Чи „можна придбати знання про реальність за допомогою пера і паперу? Математичні моделі - це вигадані світи, придумані економістами. Всі розглянуті мною моделі могли б бути, але не були зіставлені з наглядами. Не дивлячись на це, я вважаю, що процес створення моделей, в який ми залучені, абсолютно необхідний, і я не можу уявити собі, як без нього ми могли б організувати і використати масу наявних даних”.На думку відомого російського економіста Г.Б. Клейнера вірогідність визнання практично будь-якої нової економічної теорії або концепції навряд чи не у вирішальному ступені залежить від того, якою мірою ця концепція допускає математичну формалізацію, наскільки цікавий апарат, що використовується при цьому, і наскільки вражають одержані при дослідженні моделі математичні результати. В західній економічній літературі пригнічуючі більшість теоретичних і прикладної наукової статі в області економіки містять як Центральна частина ту або іншу математичну модель, розроблену для перевірки або ілюстрації гіпотез. У вітчизняній економічній науці пропорції між „математизованими” і „нематематизованими” роботами схиляються швидше на користь других, хоча і спостерігається тенденція до зміни у бік перших. Слід визнати, що вітчизняні моделі з часів Л.В. Канторовича традиційно є більш прикладними, направленими на оптимізацію конкретних рішень, на противагу західним моделям, які носять більш теоретичний характер. Відомо також, що приблизно половина Нобелівських премій по економіці присуджена за роботи на стику економіки і математики.

Не дивлячись на великий історичний період розвитку математичного моделювання економіки проблема побудови економіко-математичних моделей далека від остаточного рішення: існують різні моделі одного і того ж об'єму, відсутня єдина методологічна база, не завжди надійна перевірка на адекватність. Все більше дослідників замислюються про необхідність інвентаризації накопичених економіко-математичних моделей, створенню; належним чином систематизованого довідника по моделях реальної економіки. До витрат економіко-математичного моделювання слід віднести і можливість під будь-який економічний план формально створити макроекономічну модель. Математичною мовою можуть бути записані як наукові теорії, так і помилкові концепції, що також треба мати у вигляді.

Тому у взаємовідношенні економічного початку і математичного в реальній економічній ситуації треба завжди пам'ятати, що математика лише інструментарій в руках економіста-дослідника, і аналіз подібних явищ повинен носити змістовний, а не формальний характер.

1.1.2. Економіко-математичні методи і моделі в працях зарубіжних дослідників

Економіко-математичні методи, математична економіка і економетрія, що розуміється як набір статистичних методів для нагляду за ходом розвитку економіки, її аналізу і прогнозів, пройшли тривалий шлях свого розвитку.

Економетрія (разом з мікроекономікою і макроекономікою) входить в основу сучасного утворення дослідника-економіста. Економісти часто по різному визначають поняття економетрії. Так, академік В.Л. Макаров, директор Центрального економ і ко-математичного інституту РАН вважає, що в протилежність до економічної теорії, яка займається причинно-наслідковими зв'язками, економетрія займається зв'язками без виявлення їх причин. „основна задача економетрія - наповнити емпіричним змістом апріорні економічні міркування” (Клейн).

Тим часом, економетрія не могла бути належним чином розвинена, починаючи з роботами її основоположника У. Петі (1623-1627), до тих пір, поки не одержали належного розвитку теорія вірогідності і математична статистика. Перші ідеї, з яких згодом і оформилися ці дисципліни, грунтувалися на міркуваннях теорії азартних ігор (Кардано, Ферма, Паскаль і ін.). Закон великих чисел, доведений у вигляді теореми Якобом Бернуллі (1654-1705), був першим теоретичним обгрунтовуванням накопичених раніше фактів. Теорія вірогідності стає стрункою математичною наукою лише в XIX-XX століттях з появою основоположних праць П. Л. Чебишева, а також. А. Маркова, A.M. Ляпунова і потім С.Н. Бернштейна, А.Н. Колмогорова. По суті лише в роботах А. Н. Колмогорова, якими був закладений аксіоматичний фундамент в підставу дисципліни, теорія вірогідності придбаває таку ж Евклідову строгість, як і диференціальне і інтегральне числення.

Тим самим, економетрія в її нинішньому розумінні є в деякому розумінні вершиною тривалого розвитку економіко-математичної ідеї, що використовує новітні досягнення математичної науки.

Тим часом, математична сторона економіко-математичної ідеї має власні корені.Математика як така зародилася з практичних потреб рахунку, числення часу, вимірювання ділянок і об'ємів судин. Накопичення фактичного матеріалу йшло по шляху розвитку уявлень про числа і фігури, створення усної і письмової системи числення, виникнення зачатків арифметики і геометрії. Вважаючи Евкліда основоположником побудови математичної теорії „від аксіом до висновків” слід зазначити, що уявлення про аксіоматичний метод з'явилися задовго до Евкліда. Так, попередниками Евкліда в аксіоматичному методі є, зокрема, Гіппократ, Платон і Арістотель. В той же час „Початку” Евкліда з'явилися зразком побудови будь-якої змістовної теорії і стали еталоном. В геометрії Евкліда постулюються (аксіоматизуються) накопичені тисячоліттями геометричні знання. Таке розуміння аксіоматизації одержало назву змістовного (інтуїтивного) і лише в XIX столітті мав місце перехід до формального розуміння аксіоматичного методу, коли була відкрита неевклідові геометрія. Саме з появою неевклідових геометрії зрозуміла можливість створення математичних теорій шляхом правильно виконаної абстракції від обмежень, що накладалися раніше. У зв'язку з виниклим питанням про несуперечність нових аксіоматичних теорій (зокрема, неевклідових геометрії) виникло питання про побудову конкретної моделі, на якій та або інша аксіоматика реалізується. В роботах західних дослідників Бельтрамі, Клейна і Пуанкаре і був повністю досліджено питання про несуперечність неевклідових геометрії.

Академік А.И. Колмогоров розділяє всю історію математики на чотири періоди: періоди зародження математики, елементарної математики, математики змінних величин і сучасної математики.

Період елементарної математики (від VI в. до н.е. по XVI в. включно) починається з приведення накопичених знань в систему і характеризується в основному успіхами у вивченні постійних величин. Цей період закінчується початками вивчень процесів руху.

Період математики змінних величин (XVII-XIX століття) починається з аналітичної геометрії Декарта і вивчення змінних величин в працях И. Ньютона і Р. Лейбніца. В математику міцно входить виказана ще стародавніми греками ідея безперервності, і створюються математичні методи вивчення руху.

Період сучасної математики (середина XIX століття і до теперішнього часу) характеризується украй широким розгалуженням математики. Д. Гільберт, в докладі на міжнародному математичному конгресі 1900 р. відзначив: „... чи осуджена математика на загибель подібно іншим наукам, що розділилися на окремі галузі, представники яких ледве розуміють один одного, і зв'язок між якими стає все більш слабким?...я не вірю в це і не бажаю цього. Математична наука, в моєму розумінні, є неподільне ціле, організм, життєвість якого обумовлена зв'язком його частин... нам ясна схожість логічних апаратів, взаємозв'язок ідей в математиці як в цілому і численні аналогії між її різними областями... радісно, що з розвитком математики її органічний характер не тільки не втрачається, але і виявляється ще більш ясно.., чим далі розвивається математична теорія, тим більше гармонійно і однорідно розвивається її конструкція і відкриваються безперечні зв'язки між далекими до того областями науки”.

На жаль, час вносить свої корективи, і на рубежі тисячоліть, не дивлячись на всі спроби повторити і поповнити прогнози Гільберта, більш менш стрункого і повного аналога не вийшло. Поширена думка, що з відходом А.Н. Колмогорова в світі не залишилося математика, здатного розуміти співтовариство своїх колег, що неймовірно розширилося, що не так вже і недивно, якщо врахувати, що експоненціальне зростання кількості інформації перевершує фізіологічні здібності людського мозку до нарощування осмисленої інформації.

Розуміння того факту, що якісне використовування напрацьованого століттями економіко-математичного апарату неможливе без аналізу і розуміння витоків його виникнення і основних віх розвитку, приводить до необхідності дослідження в повній відповідності з принципом системності: від перших дослідів побудови математичних моделей в економіці до їх сучасного стану.

Побудова математичних моделей в суспільних науках має, ймовірно, корені у використовуванні фізичних аналогій при вивченні соціальних процесів - соціальна фізика XVII-XVIII ст. Так, Спіноза вважав, що люди один одного відштовхують через фізичний закон, навпаки, Г. Гроцій вважав, що має місце зворотне тяжіння людей один до одного. О. Фур’є в своєму „Вченні про пристрасті” вважав атрибутом (невід'ємною частиною) людини його прагнення до об'єднання в групи, що визначається психологічними чинниками. Поведінкові теорії в своїх спробах пояснити ті або інші процеси в соціальному ареалі шукали аналогії в тваринному світі. Так, в політиці на базі теорії біхейвіорізму з'явився напрям „біхейвіоралізм”. Поняття функції корисності сходить в своєму розвитку до статті Д. Бернуллі від 1738 р., а перша спроба кількісно описати національну економіку належить французькому економісту Ф. Кене (1694-1774).Сам термін „економіко-математичні методи і моделі” з'явився лише в XX столітті. До цього економіко-математична наука розвивалася лише в рамках політичної економії, а пізніше в рамках чистої економічної теорії. Термін „політична економія” був введений у Франції в 1614 р. Антуаном де Монкретьеном і позначав науку про державне господарство, про економіку національних держав. Політична економія розглядалася А.Смітом як галузь знання, необхідна державному діячу і законодавцю, як наука „про збагачення як народу, так і держави”.

З моменту виходу книги англійського економіста Альфреда Маршалла „Принципи економіки” в 1890 р. з'являється термін „економічна теорія”, що розуміється як суспільна наука, що вивчає поведінку людей в процесі виробництва, обміну і споживання благ і послуг. Термін „політична економія” зберігся лише в тій частині економічної теорії, яка торкається ролі в регулюванні економіки.

Перша кількісна модель економіки, належна Франсуа Кене (1694-1774), містила зачатки таких майбутніх теорій як теорія ринку, модель мультиплікатора, теорія економічної динаміки і т.п.

Вальрас Леон (1834-1910), швейцарський економіст, побудував узагальнену модель економіки, очолюючи кафедру політичної економії в лозаннському університеті.

Парето Вільфредо (1848-1923) змінив Вальраса на посту завідуючого кафедрою лозаннського університету. Відомий своїм знаменитим принципом Парето: „всяка зміна, яка нікому не приносить збитків, і яка деяким людям приносить користь (за їх власною оцінкою), є поліпшенням”.

Засновники маржиналістських (граничних) теорій в економіці – граничної корисності, граничної прибутковості, граничної продуктивності праці Стенлі Джевонс Уїльям (1835-1882) і Кларк Джон Бейтс (1847-1938).

Маршал Альфред (1842-1924), англійський економіст, керівник кафедри політекономії кембріджського університету, засновник неокласичної економічної теорії, математичної економіки.

Кейнс Джон Мейнард (1883-1946), англійський економіст і державний діяч, засновник макроекономіки, активний прихильник державного регулювання економіки. Розробив модель загальної економічної рівноваги, розвинув поняття мультиплікатора, автор моделей грошового обігу, інфляції, міжнародної грошової системи.

Істотний внесок в створенні і використовуванні економетричних моделей внесли Рональд Фішер (1890-1962) - англійський статист і генетик, Рагнар Фріш (1895-1973) - норвезький економіст, лауреат Нобелівської премії по економіці 1969 р. за „науковий внесок у формування понять економетрії і математичної економіки”.

Історично правильний виклад динаміки зародження і становлення ідеї економіко-математичного походу є складною задачею зважаючи на величезну кількість фактичного матеріалу, різноманітності різних шкіл і переконань, їх взаємозв'язків і переплетень, різного відношення економістів до основ економічної теорії, її розвитку і структури.

Неоднозначність, поглядів і наявність різних шкіл і напрямів в економічній науці пояснюється різними підходами до аналізу економічної дійсності. Таким же чином пояснюються і різні типології, тобто способи розподілу економістів по школах і напрямах досліджень. Виникає питання про класифікацію класифікацій, тобто про встановлення методів ранжирування економічних шкіл і концепцій. Природне і питання про впорядковування подібних шкіл і концепцій по їх статусу. Відомо, що найвищий статус в подібній класифікації мають макро - і мікротеорії, потім йдуть економетрія, кредитно-грошові відносини, міжнародна торгівля, фінанси, історія економічної науки і теорія порівняння економічних систем - компаравистика. У формуванні тих або інших шкіл можуть домінувати як імена окремих видатних осіб, так і інші, наприклад, географічні принципи (кембріджська, стокгольмська школи), а також окремі наукові принципи (позитивізм, нормативізм, меркантилізм). Прийнято вважати, що знання історії економіко-математичної думки не належить виключно історії - воно несе елементи наших сьогоднішніх і завтрашніх уявлень і поглядів. Для глибокого розуміння дійсності недостатньо знайомства з якою-небудь однією концепцією або теорією в чистому вигляді не застосовується по суті жодна з теорій, що вивчаються.

При класифікації економічних теорій слід зазначити, що з часом міняються не тільки їх назви, але і їх зміст, вони переживають періоди еволюції, зростання і спаду популярності. Будь-яка класифікація так чи інакше суб’єктивна - вона відображає в тій чи іншій мірі смаки і погляди укладача, його оцінку тих або інших наукових установ і області дослідження.В різних економічних теоріях по різному використовуються економіко-математичні ідеї. В цьому значенні можна говорити про більш „математизовані” теорії (школах), або менш „математизованих”. Учені-економісти створювали своє уявлення про економіку, або свою модель економіки, на шляхах пошуку закономірностей вони виділяли на їх думку головні, зводили їх в принципи і намагалися логічно вивести з них окремі (приватні) економічні закони. При аналізі економічних процесів математичними методами неминуче доводиться дотримуватися тієї або іншої економічної концепції. Сукупність вживаних приватних принципів і економічних законів часто називають економічною політикою. В будь-якій концепції економіко-математичного моделювання ця економічна основа є видимою - так, відомий фахівець в області математичного моделювання економіки В.И. Малихін постійно підкреслює, що дотримується так званого неокласичного напряму в економіці, має корені в навчанні Адама Сміта (1723-1790), що вважав, що окремі учасники економіки діють незалежно один від одного, якась „невидима рука” проте координує їх дії, роль держави мінімальна.

Послідовників А.Сміта називають „класиками”. Відзначимо також послідовників Джона Кейнса (1883-1946), які називаються „кейнсіанцями”, вважаючи, що в певні моменти роль держави може бути визначаючою, грошовий обіг має самостійне значення, а не є тільки віддзеркалення обігу товарів і послуг.

Попередницями класичної теорії є ідеї стародавнього миру, цивілізацій Стародавнього Сходу і Стародавньої Греції, пов'язані з іменами Конфуція (551-479 рр. до н.е.), Ксенофонта (430-354 рр. до н.е.), а також Платона (423-347 рр. до н.е.) і Арістотеля (384-322 р.р. до н.е.). Економічна думка середньовіччя (Хома Аквінський, 1225-1274 рр. і ін.) і пізнього феодалізму дали поштовх до більш змістовних економічних теорій, характерним прикладом яких є концепція меркантилізму. Послідовники меркантилізму бачили в зовнішній торгівлі джерело багатства за рахунок активного торгового балансу. Меркантилістами в самому закінченому вигляді була розвинена металістична теорія грошей як багатстві нації. Найвідоміші послідовники меркантилізму в Англії - У.Стаффорд (1554-1612), Т. Манн (1571-1641). У Франції велику популярність здобули А. Монкретьен (1575-1621) і Ж. Кольбер (1619-1693).

Класичний напрям в економіці заснований на трудовій теорії вартості, головним принципом якого було повне невтручання держави в питання економіки. Біля витоків цієї школи стояли У. Петі (Англія), 1623-1687) і П. Буагильбер (Франція, 1646-1714). Розвиток цієї школи пов'язаний з іменами А. Сміта, Д. Рікардо, Т. Мальтуса, Ж.Б. Сея, Ф. Бастіа - Процес розвитку класичної школи завершується працями Дж. С. Миля і До. Маркса.

Класичний напрям в економіці дав також теорію фізіократії, пов'язану з дослідженнями у Франції, основною задачею яких ставили сільсько-господарське виробництво. Основоположник школи фізіократів Ф. Кене (1694-1774) був автором „Економічної таблиці”, в якій показано, як сукупний річний продукт, створений в сільському господарстві, розподіляється між класами. Іншим видним представником теорії фізіократії був А. Тюрго (1727-1781), вперше що сформулював закон убуваючої родючості грунтів.

Класична школа мала різні напрями свого подальшого розвитку. Одним з напрямів переходу до неокласицизму була концепція використовування теорії граничних величин в економіці - маржиналізм. Перший етап маржиналізму - 70-80 роки XIX століття пов'язаний з іменами У. Джевонса (1835-1882), засновника математичної школи, К. Менгера (1840-1921) - засновника австрійської школи і Л. Вальраса (1834-1910) засновника лозаннской школи. Цей етап одержав назву „суб'єктивного напряму” в політичній економії, внаслідок введення умови визначення цінності товару. Другий етап маржиналізму відносять до 90-м рокам XIX століття і пов'язують з іменами А. Маршалла (1842-1924) і Д. Кларка (1847-1938). Видними розробниками теорії маржиналізму були, також засновник англійської школи маржиналізму А. Пігу (1877-1958) і австрійський економіст І. Шумпетер (1883-1950).

Історичною школою економічної теорії називається напрям другої половини XIX століття, представники якої розглядали політичну економію як науку про національне господарство. Основні етапи розвитку цього напряму - „стара” історична школа (40-е роки XIX століття) і „молода” історична школа (80-е роки XIX століття).

Інституціальним напрямом економічної теорії називається напрям 20-30 рр. XX століття, сформоване для дослідження соціально-економічних чинників і соціального контролю суспільства над економікою.

Поєднання ідей психології і економіки привело до створення психологічної теорії економічного розвитку Т. Веблена (1857-1929) послідовниками якого були соціально-правовий інституціоналізм Дж. Коммонса (1862-1945) і кон'юнктурно-статистичний інституціоналізм У. Мітчелла (1874-1948).Неоліберальне напрям економічної теорії як вчення про державне регулювання господарських процесів зв'язаний, з ім'ям Ф. Хаєка (1899-1992). австрійського економіста і соціолога. Слід зазначити і інші напрями економічної теорії, пов'язані з іменами 3, Чемберліна (1899-1967) - автора теорії монополістичної конкуренції, Джо Робінсона (1903-1983) („теорія недосконалої конкуренції”) і т.п. Неолібералізм австрійського економіста Л. Мізеса (I88M973) характерний контролем за цінами і заробітною платнею.

Монетаристський напрям (зародилося в 60-роки XX століття) заснований на визначальній ролі грошової маси, що знаходиться в обігу. Засновником і лідером цієї теорії є американський економіст М. Фрідмен(рід. 1912г.) і т.п.

Всі ці напрями економічної думки в тому або іншому ступені або використовують кількісні співвідношення між величинами, що вивчаються, і так чи інакше пов'язані з моделюванням (уявленням) економіки, або з'явилися основою економіко-математичного моделювання. Моделювати економіку і бути вільним від її економічних основ і переконань неможливо.

Математик, працюючої у сфері економічних категорій, повинен мати чітке уявлення про предмет моделювання, його історії, категорійному і понятійному апаратах, уміти орієнтуватися в різноманітті економічних підходів і шкіл. Змістовний економіст, охочий застосувати математичні методи і моделі для аналізу економічної діяльності, у свою чергу повинен орієнтуватися в різних розділах математики, бачити їх взаємозв'язок і шляхи розвитку.

Симбіозом економіко-математичного співпраці є стадія змістовної інтерпретації результатів економіко-математичного моделювання, що є плодом спільної діяльності змістовного економіста і прикладного математика

1.1.3. Економіко-математичні методи і моделі в працях вітчизняних економістів

Економіко-математична ідея в працях вітчизняних економістів виникла в особливих умовах, пов'язаних як з природною ізоляцією Росії від решти світу, так і через специфіку російських умов.

Особливість російської економічної думки пов'язана з сильним впливом теорії марксизму, важливістю селянського питання і інших специфічних чинниках. В книзі А.Н, Радіщева „Подорож з Петербургу до Москви” (1790 р.) розглядався разом з політичними і ряд економічних питань, у тому числі необхідність, проведення державної політики протекціонізму розвитку власної промисловості, виділення ознак інфляції і характеристика праці як джерела багатства. Економічні питання зачіпалися в працях П.И. Пестеля (1793-1826) - повстанця декабристів. Н.И. Чернишевського (1828-1889), відомого російського письменника. Що веде перебіг російської суспільної думки - народництво кінця XIX століття, ідеологами якого вважаються М.А. Бакунін (1814-1876), П.Н. Ткачов (1844-1885), П.Л. Лавров (Миртів) (1823-1900), мало економічну програму. Так, М.А. Бакунін уявляв собі соціалізм в Росії у вигляді вільної федерації робочих і сільськогосподарських общин, де кожний буде зобов'язаний трудитися. М.А. Бакунін дотримувався ідей анархізму, бачивши у владі причину експлуатації.

Один з феноменів російської науки - плідна розробка ідей економіко-математичного моделювання, заснована на базі як „чистих” математиків, що направили свої зусилля в економіку, так і розробок професійних економістів.

Перші російські економісти-математики (Ю.Г. Жуковській, І.А.Столяров, В. З. Войтінський, В. До. Дмітрієв, Е. Е. Слуцький, і ін.) відрізнялися конкретністю проведених досліджень. Так, Ю.Г. Жуковський побудував модель ренти в землеробстві, І. А. Столяров обгрунтував функцію суспільної корисності для господарських благ, B.C. Войтінський провів аналіз взаємозв'язків між ціною, попитом і корисністю.

В. К. Дмітрієв (I368-I9I3) епіграфом до своєї книги „Економічні нариси” узяв фразу Леонардо да Вінчі „Ніяке людське дослідження не може називатися справжнім знанням, якщо воно не пройшло через математичні докази”.

Е. Е. Слуцький (1830-1948) в своїй роботі „До теорії збалансованого бюджету споживача” обгрунтував основні положення математичної теорії корисності. Загальновизнано, що роботи Е. Е. Слуцького надали чималий вплив на формування економетрії. Одним з найпопулярніших і визнаних в країнах і за рубежем економістів був М. Туган-Барановський (1865-1919). При діалізі криз і циклів М. І. Туган-Барановській, зокрема, обгрунтовував функціональну залежність і зв'язки, виявляючими відомими аналогами мультиплікатора і акселератора. Відомою критикою економічної теорії народництва проявив себе П.Б. Струве (1870-1944). Теорія сільськогосподарської кооперації А. В. Чаянова (1888-1937) по праву увійшла до історії російської економічної думки. Одним з талановитих теоретиків ринкової економіки і фінансового господарства проявив себе Л.И. Юровський (1884-1938).

Н. Д. Кондратьєв (1892-1938) запропонував, зокрема, теорію довгих хвиль в економіці, існування великих періодичних циклів тривалістю приблизно 50 років.Одним з найзначніших досягнень в області економіко-математичних досліджень є відкриття Л. В. Канторовичем (1912-1986) методу лінійного програмування, за яке він сумісно з американським економістом Т, Купмансом одержав в 1975 Нобелівську премію по економіці.

Вітчизняна економічна школа активно формується при безпосередній участі Л. В. Канторовича і його колег В. В. Новожилова (1892-1970), B.C. Немчинова (1894-1964). Основним напрямом досліджень на початку 60-х років XX століття є в СРСР розробка системи моделей оптимального функціонування економіки.

Післявоєнний період в країні ознаменувався створенням крупних наукових колективів, наукових шкіл і напрямів. Видне місце займали напрями, очолювані Е. С. Варгой (1879-1964), Н. А. Вознесенським (1903-1950), А И. Анчишкіним (1933-1987), Економіко-математичні дослідження концентрувалися в стінах інститутів Академії Наук: ЦЕМІ, ІЕ, ІМЕМО і ін.

Якісно змінилося утворення спеціалістів-економістів, в багатьох інститутах і університетах як обов'язковий курс читається дисципліна „Економіко-математичне моделювання”. Спеціальність „Математичні і інструментальні методи економіки” одержувала визнання і ВАК - Вищої атестаційної комісії РФ.

Методологія економіко-математичного моделювання по суті відноситься до фундаментальних основ економічних досліджень. Самостійність економіко-математичного моделювання як елемента розвитку економічної науки в цілому неодноразово ставилася під сумнів. Споживацьке відношення користувача до науково-дослідного продукту, створеного науково-дослідними інститутами, призводить часто до того, що економіко-математичний інструментарій стає, на думку відомих російських економістів (Г.Б. Клейнер і ін.) внутрішньою справою економічної науки. Підсумком такого положення є недостатній розвиток економіко-математичного моделювання останнім часом.

Тим часом, об'єктною сферою економіко-математичного моделювання є економіка, і саме в рамках аналізу економіки економіко-математичне моделювання повинне забезпечити собі відомий пріоритет в розвитку. Таке рішення можливе на шляхах якісного поліпшення стану дисципліни, упровадженням нових підходів і ідей.

Виказана відомим російським економістом А.К. Суботіним ідея побудови універсальної моделі світового розвитку як банка національних, регіональних і світових моделей економічного розвитку, є у зв'язку з цим привабливим інструментарієм на шляху подальшого просування апарату економіко-математичного моделювання. Така універсальна модель є оптимальною на всьому класі даних економічних задач, у кожному конкретному випадку настроюється на оптимальну модель з банку.

На цьому шляху таксономія (типологія) існуючих економіко-математичних моделей і шкіл є необхідним елементом наукового підходу до проблеми.

1.2. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І ЗОВНІШНЬОПОЛІТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ

1.2.1. Проблема методу в політичних дослідженнях

Як відзначає А.Н. Тихонов1 „Математична модель - наближений опис якого-небудь класу явищ зовнішнього світу, виражений за допомогою математичної символіки”. Під математичним моделюванням розуміється, звичайно, вивчення явища за допомогою його математичної моделі. В цитованій статті А.Н. Тихонов підрозділяє процес математичного моделювання на 4 етапи.

1. Формування закону, зв'язуючі основні об'єкти моделі, що вимагає знання фактів і явищ, що відносяться до явищ, що вивчаються, - ця стадія завершується записом в математичних термінах сформульованих якісних уявлень про зв'язки між об'єктами моделі.

2.Дослідження математичних задач, до яких приводить математична модель. Основне питання цього етапу - рішення прямої задачі, тобто отримання через модель вихідних даних описуваного об'єкту - типові математичні задачі тут розглядаються як самостійний об'єкт.

3. Третій етап пов'язаний з перевіркою узгодження побудованої моделі критерію практики. У випадку, якщо вимагається визначити параметри моделі для забезпечення її узгодження з практикою, - такі задачі називаються зворотними.

4. Нарешті, останній етап пов'язаний з аналізом моделі і її модернізацією в зв’язку з накопиченням емпіричних даних.5. Опис політичної поведінки держав на міжнародній арені є слабо структурованій, погано піддавалася формалізації багатофакторною задачею. В спробах теоретичного обгрунтовування зовнішньої політики з початку XX століття висувалися різні ідеї, початок яких має витоки в політичному житті античної Греції і Риму - течію в рамках історико-філософської, морально-етичної і правової підходів одержало назву „політичного ідеалізму”, синонімами якої є також назви „моралізм”, „нормативізм”, „легалізм”. Практичний досвід передвоєнної кризи і другої світової війни висунув нові ідеї прагматизму, який дозволив би пов'язати теорію і практику зовнішньої політики з реальностями XX століття. Ці ідеї послужили основою для створення школи „політичного реалізму”, лідером якої став професор університету Чікаго Р. Моргентау. Від ідеології реалісти все частіше стали звертатися до дослідження емпіричних даних математичними методами. Так з'явився перебіг „модерністів”, які часто абсолютизували математичні методи в політиці як єдино достовірні. Самим зваженим підходом відрізнялися роботи Д. Сингера, До. Дойча, які бачили в математичних методах лейственний інструментарій, але не виключали з системи ухвалення рішення людини. Відомий математик Дж. фон Нейман вважав, що політика повинна виробити свою математику; з існуючих математичних дисциплін самої застосовної в політичних дослідженнях рахував теорію ігор. В різноманітті формалізованих методів частіше за все зустрічаються методи конвент-аналізу, івентаналізу і метод когнітивного картирування .

Ідеї контент-аналізу (аналіз вмісту тексту) як методу аналізу поєднань, що часто зустрічаються, в політичних текстах привнесені в політику американським дослідником Г. Лассуєлом . Івент-аналіз (аналіз даних подій) припускає наявність обширної бази даних з певною їх систематизацією і обробкою матриць даних. Метод когнітивного картирування розроблений на початку 70-х років спеціально для політичних досліджень. Його суть полягає в побудові комбінаторного графа, у вузлах якого коштують цілі, а ребра задають характеризацію можливих зв'язків між цілями. Вказані методи все ж таки не можна віднести до математичних моделей, оскільки вони направлені на уявлення, структуризацію даних і складають лише підготовчу частину кількісної обробки даних. Першою математичною моделлю, розробленою для чисто політичної науки, є відома модель динаміки озброєнь шотландського математика і метеоролога Л. Річардсона, вперше опублікована в 1939 р. Л. Річардсон припустив, що зміна сукупного розміру озброєнь сторони, що бере участь в гонці озброєння пропорційно наявним озброєнням протилежної сторони, причому стримуючим чинником є власна економіка, що не витримує нескінченного тягаря озброєнь. Ці прості міркування, переведені на математична мова, дають систему лінійних диференціальних рівнянь яка може проінтегрувати:

.

Обчисливши коефіцієнти kt /, m, і, Л. Річардсон одержав дивно точні! узгодження розрахункових даних з емпіричними на прикладі 1-ої світової війни, коли з одного боку були Австро-Угорщина і Німеччина, а з іншою Росія на Франція. Рівняння дозволили пояснити динаміку озброєнь конфліктуючих сторін. Саме математичні методи дозволяють пояснити динаміку зростання населення, оцінити характеристики інформаційних потоків і інших явищ в соціальному світі. Приведемо, наприклад, оцінку динаміки розповсюдження математичних методів в міжнародних дослідженнях. Хай X(t) - частка математичних методів в сукупному об'ємі досліджень з міжнародної тематики на момент часу t. Допускаючи, що приріст досліджень по теорії міжнародних відносин, що використовують математичні методи, пропорційний їх наявній частці, а також ступені віддаленості від насичення AM маємо диференціальне рівняння:

рішенням якого є логістична крива.Найбільших успіхів в міжнародних дослідженнях добилися методи, що дозволяють статистично обробляти сукупність даних зовнішньополітичної інформації. Методи, кластерного і кореляційного аналізу чинника дозволили пояснити, зокрема, характер поведінки держав при голосуванні в колективних органах (наприклад, в конгресі США або на Генеральному Асамблеї ООН). Фундаментальні результати в цьому напрямі належать американським ученим. Так, проект „А Cross-Polity Survey” виконувався під керівництвом А. Банкс і Р. Текстор в Масачусетському технологічному інституту. Проект „Correlates War Project: 1918-1965”, який очолював Д. Сінгер, присвячений статистичній обробці об'ємної інформації про 144 нації і 93 війнах за період 1818-1965 роки. В проекті „Dimentions Nations”, який розроблявся в Північно-західному університеті використовувалися комп'ютерні реалізації методів чинник-аналізу обчислювальних центрів Індіанського, Чікаго і Ієльського університетів і т.п. Практичні задачі по розробці анаштичних методик по конкретних ситуаціях неодноразово ставилися держдепартаментом США перед дослідницькими центрами. Так, наприклад, Д. Кіркпатрік - постійний представник США в Раді Безпеки, попросила розробити методику, по якій американська допомога країнам, що розвиваються, ставилася б в чітку кореляційну залежність від результатів голосування на Генеральній Асамблеї ООН цих країн в порівняння з позицією США. Держдепартаментом США також робилися спроби за допомогою аналізу даних експертного опиту оцінити вірогідність захоплення американського посольства в Тегерані під час відомих подій. Достатньо повні огляди по вживанню математичних методів в теорії міжнародних відносин складені, наприклад, М. Ніколсоном, М. Уордом і ін.

Основна ідея управління потоками зовнішньополітичної інформації на базі синтетичного критерію могутності держави сходить до ранніх робіт Г. Моргентау . Індикатори могутності держави, приведені в одній з своїх робіт американським дослідником Д. Смітом, використовувалися робочою групою під керівництвом професора Дипломатичної академії МЗС Россії А.К. Суботіна для створення моделі управління інформаційними ресурсами, Побудова математично коректних моделей управління потоками зовнішньополітичної інформації з використанням синтетичних критеріїв представляється складною задачею. З одного боку, згортка набору одиничних показників в єдиний універсальний показник навіть задовольняючий необхідним умовам інваріантності, очевидно, приводить до втрати інформації, З другого боку, альтернативні методи типу Парето-оптимальних критеріїв не в змозі вирішити ситуацію у разі незрівнянних систем показників (максимальних елементів в частково впорядкованій множині). Одним з підходів, що вирішують дану ситуацію, може бути підхід автора з використанням апарату функціональних просторів. Зокрема, в просторі показників (індикаторів, компонент) могутності держави виділяється підмножина синтетичних показників.Система одиничних показників (індикаторів), що характеризують державу або політичний процес, є основною інформаційною базою для ухвалення зовнішньополітичного рішення. Ухвалення рішень по різних системах показників приводить, взагалі кажучи, до неузгоджено, якщо не сказати прямо протилежним висновкам. Коли подібні висновки робляться із застосуванням кількісних процедур, то це підриває довір'я до використовування математичних методів в міжнародних дослідженнях. Для виправлення подібного положення повинні бути розроблені процедури оцінки міри узгодженості вибірок індикаторів. За відсутності таких алгоритмів ставиться під сумнів не тільки можливість скільки-небудь адекватного математичного ' Моделювання в системі міжнародних відносин, але і сама наявність наукового підходу до цієї проблеми. Відомий американський дослідник Мортон Каплан ці сумніви виразив в роботі: Чи „припускає предмет міжнародні I відносин скільки-небудь зв'язне дослідження або ж це звичайний мішок, з якого виймається і вибирається те, що в даний момент нас зацікавило і до чого неможливо застосувати скільки-небудь зв'язну теорію „узагальнення або уніфікувати методи?”. Усунення суперечностей у висновках, одержаних на підставі обробки результатів наглядів по різних підсистемах індикаторів, в роботі пропонується здійснити таким чином. Природно рахувати всі мислимі показники (індикатори), що описують систему міжнародних відносин, якоюсь спочатку існуючою множиною, яка, очевидно, нескінченна. Ця множина передбачається вважати актуально нескінченним як завершену, закінчену сукупність показників, доступну нашому огляду. Слідуючи С. Клнни „ця нескінченність нами розглядається як актуальна або завершена, або протяжна або экзистенциональная. Нескінченна множина розглядається як існуюче у вигляді завершеної сукупності, до і незалежно від всякого процесу породження або побудови його людиною, неначебто воно повністю лежало перед нами для нашого огляду”. Згідно абстракції актуальної нескінченності в нескінченній множині можна виділити (індивідуалізуватися) кожний його елемент, але насправді зафіксувати і описати кожний елемент нескінченної множини принципово неможливо. Абстракція актуальної нескінченності і є відверненням від цієї неможливості „... спираючись на абстракцію актуальної нескінченності ми дістаємо можливість зупинити рух, індивідуалізуватися кожний елемент нескінченної сукупності”. Абстракція актуальної нескінченності в математиці має своїх прихильників і супротивників. Протилежна точка зору конструктивістів - абстракція потенційної нескінченності спирається на строге математичне поняття алгоритму: признається існування лише тих об'єктів, які можна побудувати в результаті деякої процедури. Прикладом таких формалізованих підходів до вибору номенклатури показників досліджуваного об'єкту є, наприклад, методики, що використовуються в органах державної стандартизації. В рамках задачі розробки процедур узгодження результатів, одержаних по різних вибірках системи індикаторів, виникає проблема простору, в категоріях якого будується відповідна математична модель, або, що практично одне і те ж - проблема метрики в системі індикаторів. Найпоширеніші метрики Евкліда, Мінковського, Хеммінга, будучи введеними на безлічі індикаторів, визначають тип абстрактного простору, в якому будується шукана математична модель. Саме, наявність метрики дозволяє говорити про ступінь близькості держав по відношенню один до одного і одержувати різні кількісні характеристики. Введені простори фактично виявляються лінійними нормованими просторами з однойменними нормами, тобто, банаховими просторами. Основним методом в теорії лінійних просторів є метод вивчення властивостей системи векторів по відношенню до лінійних перетворень самого простору. Так, основною ідеєю аналізу чинника даних, що набув найбільше поширення в міжнародних дослідженнях, є пошук відповідного ортогонального перетворення, що переводить початкову сукупність векторів нагляду в іншу, інтерпретація властивостей якої є більш простою і наочною задачею. Легко бачити, що ортогональні перетворення в L не зберігають метрику в просторах Мінковського If для випадку р#2, тому природне питання на яких підпросторах метрики L' і If еквівалентні. Задача придбаває коректне формулювання у разі конкретних ортогональних перетворень. Постановка подібної задачі для спеціального ортогонального перетворення - дискретного перетворення Фур’є - дозволяє зрозуміти всю складність і глибину проблеми. Тим часом, саме перетворення Фур’є знаходить широке вживання в теорії передачі інформації. Ідея представлення сигналу як суперпозиції окремих гармонік простого вигляду набула широке поширення в електротехніці. Слід зазначити, що негармонійні коливання, що виникають в електронних системах (диполь Герца, мікрофон ) вимагають для свого вивчення інших, нетригонометричних ортогональних систем, наприклад, системи функцій Уолша1. У багатьох випадках властивості функції (сигналу, системи індикаторів) можуть зрозуміти на підставі властивостей її перетворення Фур’є, або, кажучи іншою мовою, її спектрального розкладання. Задача однорідності системи індикаторів може бути сформульована в термінах спектральної функції такої системи - яка повинна бути структура спектру, щоб функція була „однорідною” на безлічі вибраних показників. При чіткому визначенні поняття „однорідності” або „моногенності” виникають різні математичні задачі. Зокрема, коректна постановка згаданої задачі про вибір підпростору, на якому метрики L2 і L? еквівалентні, одержує наступну форму: при якому ступені лакунарності спектру функції J(x) eL ця функція належить простору If при деякому р>1. З міркувань спільності не виходить обмежуватися розглядом тільки дискретних перетворень Фур’є, оскільки виникаючі проблеми є загальними і для континуального випадку. Інші випадки „однорідності” системи показників беруть свій початок з однією з робіт відомого математика С. Мандельбройта від 1936 р. Класичним прикладом ортогонального перетворення для випадку дискретного перетворення Фурье є перетворення з матрицею Адамара, тому перетворення Фур’є для ортогональної системи Уолша інакше називають перетворенням Адамара. Згідно А.Г, Драгаліну „сукупність математичних теорій, що використовуються при вивченні формальних теорій, називається метаматематикою; метатеорія - це сукупність засобів і методів для опису і визначення деякої формальної теорії, а також дослідження її властивостей. Метатеорія є найважливішою становлячою частиною методу формалізаціїВ різноманітті всіх міжнародних відношенні (політичні, економічні, військові і т.д.) особливе місце займають політичні відносини.Історично першою формою пізнання політики було її релігійно-міфологічне трактування, в основі якій лежали уявлення про божественне походження політичної влади і існуючих порядків в суспільстві. В середині 1-го тисячоліття до н.е. на зміну їй прийшла філософсько-етична форма, заснована на теоретичному дослідженні політики (Конфуцій, Платон, Арістотель). Цій формі властиво розглядати політику в єдності з етикою, Іншими словами, політика повинна відповідати інтересам людей, тобто бути етичною. В середні століття затверджується релігійно-етична форма (Хома Аквінський), I в основі якої лежала ідея про божественне встановлення політичної влади і право народу на її скидання у разі порушення нею воля божої. Становлення сучасної форми пізнання політики пов'язано з ім'ям Н. Макіавелі, який звільнив політику від теології, став розглядати її як прояв природного розумного початку в житті суспільства. Прийнято вважати, що теоретичні основи політики були закладені Арістотелем: (він рівно як і Конфуцій, Платон) розумів політичну науку як науку про вище благо людини і держави, про якнайкращий державний пристрій. Відмінність Арістотеля, якого часто називають батьком політичної науки, від Н. Макіавелі полягає в тому, що саме Н. I Макіавелі поставив в центр досліджень проблему державної влади, провів чітке розділення предметів політології з одного боку і етикою і філософією з іншою. Існує думка, „що кожна суспільна наука, у тому числі і політологія проходить три ступені розвитку: філософську, емпіричну і стадію рефлексії, ревізії емпіричного стану. Стосовно політології перший період її розвитку - це період з часів Арістотеля до Громадянської війни в Америці 1861-1865 років. Другий період відноситься до проміжку між Громадянською війною в Америці і Другою світовою війною. Нарешті, третій період почався після Другої світової війни і триває до наших днів. Тимчасовий вигляд політологія набуває в другій половині XIX століття, коли відбувається становлення політичної науки як самостійної академічної дисципліни. Так, в 1857 р. в колумбійському коледжі США створюється (Френсіс Лібер) кафедра Історія і політична наука. В 1903 р. створена американська асоціація політичних наук, що налічує до справжнього моменту понад 16 тис. членів. В 1949 р. під егідою ЮНЕСКО була створена Міжнародна асоціація політичної науки. В 1990 р. Державним комітетом СРСР із науки і техніки була офіційно визнана номенклатура науковців під загальною назвою „Політичні науки” - до цього періоду на політології в СРСР лежало ідеологічне табу, вона потрактувала як лженаука, В даний час політологія розуміється частіше всього в широкому значенні цього слова як наука про політику, політичні процеси, політичну владу. Терміни, що використовуються у вітчизняній і зарубіжній літературі, „політична наука”, „політична соціологія”, „наука про політику” відображають традиції і особливості національних і регіональних політологічних шкіл. Навпаки, в роботі політологія потрактує як одна з політичних наук разом з такими політичними дисциплінами як політична соціологія, політична географія, політична психологія і т.п. Політологія ж передбачається пов'язаної лише з інституційним аспектом політики і перш за все пристроєм і діяльністю держави, всього механізму політичної влади. У ряді робіт панує думка про недоцільність дроблення політичних дисциплін, оскільки розмивається сам предмет дослідження, ціле не завжди пізнається по частинах, дотримуючись дисциплінарних меж дослідник здатний одержати лише фрагментарні знання. Розуміння політології як науки про політику в широкому значенні цього слова, тобто науки про соціальну діяльність, направлену на досягнення, утримання, зміцнення і реалізацію влади знаходить все більш широке розуміння серед дослідників. Історія розвитку політичної думки висловлена в різних монографіях. Ще Арістотель говорив, що „для розуміння справжнього значення поглядів того або іншого мислителя потрібно враховувати обстановку, що породила їх, а не судити з погляду теперішніх умов” в цьому полягає принцип історизму. Політична думка вторинна, оскільки вона породжується життям суспільства. Праці дослідника можуть передбачати істинний шлях розвитку суспільства, а можуть бути грою уяви і належати жанру утопії. Конфуцію приписують вислів „Вивчення неправильних поглядів шкідливо”. Тим часом, політологи належать, мабуть, до тих наук, в яких більш доречні помірні погляди, наприклад, Гуго Гроція, голландського юриста XVII століття”. Немає такої філософської школи, якій була б доступна вся істина, хоча немає і такої, яка не містила б часткової істини”. Зовнішня політика як особливий вид діяльності держави в міжнародних справах завжди здійснювалася відповідно до принципів і цілей держави. Залежно від цих чинників складалися і міжнародні відносини держав: вони приймали характер співпраці або суперництва. Міжнародні відносини не зводяться тільки до політичних відносин, оскільки міжнародні відносини припускають сукупність разом з політичними також і економічні, ідеологічні, дипломатичні, військові, наукові і інші зв'язки між державами, організаціями і рухами на світовій арені. Нарешті, засобом зовнішньої політики є дипломатія, тобто офіційна діяльність глав держав, урядів і спеціальних органів зовнішніх стосунків по здійсненню зовнішньої політики, а також по захисту прав і інтересів держав за межею: Політологія виступає в двох якостях: як наука і як учбова дисципліна. Якщо політологія-наука досліджує політичну сферу суспільств, політичні відносини і процеси, то політологія - учбова дисципліна повідомляє навчанням систему конкретних знань по політичних проблемах. Проблема методу в політичній науці така ж актуальна, як і в будь-якій іншій науці. Будь-яка наука виробляє свої власні прийоми, методику, техніку пізнання досліджуваного об'єкту. Метод може означати як суму прийомів, засобів і процедур дослідження наукою свого предмету, так і сукупність вже наявного знання. Поширена думка про те, що кожна наука має свій власний метод вірно лише частково: більшість соціальних наук не має свого специфічного, тільки ним властивого методу. Тому вони так чи інакше заломлюють стосовно свого об'єкту загальнонаукові методи і методи інших (як соціальних, так і природничо-наукових дисциплін). Має місце зіставлення історико-описового (інтуїтивно-логічного) підходу аналітиці - прогностиці (математичному), результатом якого є розділення методів дослідження на традиційні (якісні) і кількісні (математичні). Останнім властива якась математична область не тільки в політичній сфері міжнародних відношенні, але і у сфері міжнародних відносин в цілому, будь то економічні, військові або інші аспекти міжнародних відносин. Тому в цілях природної спільності слід розглядати і якості інструментарію дослідника в області зовнішньої політики весь математичний інструментарій в теорії міжнародних відносин, який у свою чергу є частиною математичних методів в соціальних науках. Нарешті, досягнення соціальних наук завжди були зв'язані з використанням математичних методів збору і аналізу первинної соціальної інформації: розвиток соціальних наук знаходився відповідно до складності застосованих математичних методів, аналізу соціальних даних і вибірки. Операція з великими масивами первинної соціальної інформації привела до необхідності використовування обчислювальної техніки, Слід зазначити, що автори використовування кількісних методів в теорії міжнародних відносин в предмет політичних дослідженні вкладали в якості компонент економічні, національні, культурні, військові і ін. становлять. Тим часом, аналіз числового етгістичного матеріалу, зібраного дослідниками по світовій політиці, не був напряму пов'язаний з питанням про те, що є більш широким поняттям - зовнішня політика або міжнародні відносини, статистика або політика.У вивченні політики використовування кількісних методів, зокрема, статистики, має достатньо давню традицію. Статистика як наука все більш зв'язується з сукупністю числових прийомів обробки даних незалежно від природи самих даних, „таким чином, переймаючи термінологію англійських статистиків Джорджа Юла і Моріса Кендалла, можна сказати, що суспільні науки - „батьки” статистичних методів; Вживання чисто статистичних прийомів в суспільних науках не могло не спричинити вживання і інших математичних теорій, наприклад, теорії диференціальних рівнянь, операційного числення і т.д. Труднощі вживання математики в соціальних науках обумовлені цілим рядом причин, серед яких складність соціальних явищ, наявність суб'єктивізму в досліджуваному матеріалі, наявністю зв'язку між спостерігачем і спостережуваним явищем. „фізика досягла великого успіху, зокрема, тому, що аксіоми арифметики реалізовувалися у всіх областях фізичних явищ. Це останнє не має місця в соціальних науках. Мабуть, в соціальних науках потрібна інша, ніж в природних науках теорія измерения.4 „Нерідко доводиться чути вислови про те, що методи кількісного аналізу, математика і сучасна електронно-обчислювальна техніка не застосовні до області теорії і практики політичної діяльності. Прихильники таких поглядів чаші всього посилаються на надзвичайну складність політичних процесів, величезна кількість впливаючих на їх розвиток чинників, велику роль випадковостей, на трудності обліку і кількісної оцінки „суб'єктивних чинників” і т.д. Ці думки можна зрозуміти, але згодитися з ними не можна. Всі згадані вище чинники і обставини, природно, утрудняють і утруднятимуть упровадження методів, що органічно поєднують якісний і кількісний аналіз політичних систем і процесів. Проте ці області людської діяльності не можуть представляти якогось виключення і так само, як і інші сфери її, піддаються раціональному якісному і кількісному аналізу. Кількісний аналіз і математичні засоби дають можливість більш точного розрахунку, передбачення і використовування найраціональнішого варіанту ведення справи без тих втрат, які неминучі при емпіричному розрахунку „на очко”. Іншою крайністю є поширена думка використовування математичних методів в політиці як панацею, як критерій правильності соціально-політичних теорій і концепцій, абсолютизуючи принципи і формули цієї науки. Такі погляди висловлювалися, зокрема, представниками позитивістської школи, якими заперечувалася специфіка соціальних наук.

„у міру розвитку і поглиблення процесу пізнання наука прагне вдягнутися свої положення і ідеї в точні абстрактні математичні форми і моделі, що відображають в єдності якісні і кількісні сторони об'єктів, систем і процесів, що вивчаються. Розробка такого роду моделей в тій або іншій галузі науки є доказом того, що система понять цієї науки уточнилася настільки, що вона може бути піддана як якісному, так і кількісному дослідженню”. Такий напрям науки був помічений ще До. Марксом, який говорив, що „наука тільки тоді досягає досконалості, коли їй вдається користуватися математикою”. Математизація (формалізація) науки політики - це по суті переклад категорій, положень, понять політології на мову математичних категорій, понять, формул, алгоритмів. Заміна початкового об'єкту аналізу на його образ у вигляді математичної моделі є визнаним інструментарієм наукового пізнання. Труднощі на цьому шляху пов'язані в основному з адекватністю моделі реальному об'єкту. Практично модель періодично коректується у міру надходження додаткової інформації про систему.Теорія міжнародних відносин, а також її розділи, що відносяться до вивчення міжнародних політичних відносин, перш ніж звернулися до методів математичної науки пройшли власні етапи розвитку. Виникнувши на початку XX століття в США, політична наука розвивалася під сильним впливом потреб політичної діяльності держави і на відміну від колишніх суб’єктивістських або догматичних державно-правових теорій зробила спробу більш реалістично підійти до аналізу діяльності державного апарату в цілому і окремих його установ, звернулася до вивчення практичних і навіть технічних проблем управління. Прискорений рух науки міжнародних відносин в США в 50-70 роках був до певної міри мабуть інтенсивним і далеке не у всьому стихійним стикуванням цієї науки Л іншими гуманітарними і природними науками, своєрідною експлуатацією політологами інших галузей науки, спробами сприйняти „чужі” для політології поняття, методи і результати дослідження включивши їх в свій арсенал. Науково-технічний прогрес дав в руки політологів електронно-обчислювальне устаткування і ознайомив з технікою його вживання. Але і „політологічний бум”, у свою чергу, відобразився на інших галузях науки, стимулюючи їх розвиток. По суті відбувалася перебудові значної області багатьох наук, що виявилися „суміжними”, взаємозв'язане мі. Фахівці інших галузей перемикалися на дану область досліджень, підпорядковувавши їх загальною ціллю аналізу і прогнозу міжнародних відносин по прямому або непрямому „соціальному замовленню” правлячих класів. В результаті за останні десятиріччя в США була створена вельми обширна, складна ncpeJ плетуча структура науки міжнародних відносин вчених і їх досліджень. Цій системі властиві свій розподіл праці, суперництво і боротьба різних угрупувань. Межі такої науково-академічної інфраструктури щодо практичних зовнішньополітичних органів держави виявилися досить умовними, а їх взаємозв'язки - украй різноманітними по рівню і формам, В той же час США прагнули привернути до своїх розробок також вчених інших капіталістичних країн за допомогою особистих контактів або через інститути університети. Склалася міжнародна інфраструктура дослідницький] центрів і наукових робіт у сфері міжнародних відносин з властивими їй міжнародними розподілом праці, співпрацею і суперечностями.В спробах теоретичного обгрунтовування зовнішньої політики з початку XX вік! висувалися різні теорії міжнародних відносин і зовнішньої політики, втом числі, і на ідеях, що черпнули з політичного життя античної Греції i Рима. Ці дослідження велися в рамках історико-філософського, морально етичного і правового підходів, які в американській літературі сталі називати збірним терміном „політичний ідеалізм”. Це поняття було привласнено групі дослідників тому, що вони будували свої міркування (зовнішній політиці і міжнародних відносинах, виходячи з морально-етично; і правових ідеалів, норм і критеріїв, що носили абстрактний характер. Синонімами терміну „політичний ідеалізм” сталі назви „моралізм”, „нормативізм”, „легалізм”. До ідеалістів в американській літературі часто причислювали навіть таких практиків, як колишній державний секретар Дж. Ф. Дал ліс. Практичний досвід передвоєнної кризи і другої світової війни висунув нові ідеї прагматизму, який дозволив би пов'язати теорію і практик; зовнішньої політики США до реальностям середини XX століття. Ці ідеї послужилш основою для створення школи „політичного реалізму”. Духовним батьком політичних реалістів став Р. Нібур, ідеї якого, проголошені в роботі „Моральна людина і аморальне суспільство”, надалі широко використовувалися реалістами. Професор університету Чікаго і постійний консультант держдепартаменту США Г. Моргентау - лідер школи політичного реалізму, писав в своїй основоположній праці „Національна політика” як домінанта політичного і людського спілкування оголошує всепоглинаючу боротьбу людей за владу, прагнення до панування над собі подібними. Саме, категорія „сили” є основоположною у всій концепції політичного реалізму”. Як прихильники „політичного ідеалізму”, так і прихильники „політичного реалізму” в основній своїй масі розуміли скованість своїх теорій від ідеології, хоча і розуміли необхідність розділення науки і ідеології. До 50-м рокам XX століття з'явилися тенденції зайнятися „деідеологізованим” збором і вивченням фактів і цифр як „індикаторів” реальних процесів міжнародних відносин. Прихильниками збору і аналізу емпіричних даних як елемента пізнання міжнародної політики виступили представники школи політичного реалізму, в першу чергу, Д. Розенау, К. Норр і ін. Розвиток науки міжнародних відносин в тих напрямах, які були зв'язані з використанням емпіричних даних, одержав стимул у вигляді систематичного збору і порівняльного аналізу відповідних кількісних даних. Були зроблені спроби не тільки створити методи збору даних і їх кореляцій, але і визначати на їх основі якісні описи політичних характеристик низки країн. Основоположними працями по методах збору і аналізу емпіричних даних по міжнародних відносинах і світовій політиці є роботи Д. Сінгера. В цих роботах сам Д. Сінгер відзначав, що він ставив свою за мету продемонструвати можливості використовування „строгих кількісних методів” для вирішення важливих теоретичних питань в області світової політики. Д. Сінгер указував на необхідність побудови строгої теорії міжнародної політики, заснованої на емпіричних даних. Як тільки нагромаджується достатня кількість емпіричного матеріалу, виникає настійна потреба привести весь цей матеріал в порядок, іншими словами, повинна бути розроблена теоретична база для його осмислення. Залишаючись на позиції матеріалістичного детермінізму, слід визнати, що виникаючі кількісні теорії обробки і аналізу емпіричної інформації повинні нас привести до істинного розуміння міжнародної політики. В своєму президентському посланні 66-й річній зустрічі американської асоціації політичних наук К. Дойч відзначав: „можна розглядати широке збільшення інформаційної бази політичної науки як „кошмар” і можна відкидати систематичний аналіз великих сум даних просто як що не відноситься до розуміння політики, як це пропонують деякі видатні старші політологи традиційно орієнтованого історичного або літературного складу розуму. Немає підстав для політологів боятися велике число свідоцтв про те, як народ діє у сфері політики. Сучасні методи зберігання і повернення інформації, електронні комп'ютери роблять можливим обіг великого об'єму даних, якщо ми знаємо, що хочемо з ними зробити, і якщо ми маємо адекватну політичну теорію, здатну допомогти сформулювати питання і інтерпретувати одержувані відповіді. Комп'ютери не можуть бути використані як заміна мислення, також як дані не можуть замінювати оцінки. Але комп'ютери можуть допомогти нам здійснити аналіз, який пропонує теорії наше мислення... Доступність великих мас відповідних даних і комп'ютерні методи їх обробки відкривають широкі і глибокі підстави для політичної теорії, в той же час це відрізняється від теорії більш широкими і складними задачами”.Розвиток емпіричних досліджень і запозичення методів інших гуманітарних і природних наук сталі двома сторонами одного і того ж процесу. Найбільшу популярність в комплекс досліджень, що інтегруються політичною наукою, ввійшли разом з розділами математики також і розділи економіки, соціології, психології і географії. Так, зокрема, перенесення понятті біхейвіорізму як наукового напряму в психології, що вивчає поведінку живих істот, в суспільні науки для вивчення поведінки соціальних і політичних систем привело до становлення наукового напряму в теорії міжнародних відносин під назвою „біхейвіоралізм”. Одна з центральних робіт К. Дойча „Нерви уряду” привела до створення нового наукового підходу, що одержав назву „політична кібернетика”. В цій роботі К. Дойч ввів поняття і методи теорії комунікацій, передачі інформації в дослідження міжнародних відносин. Обгрунтувавши свої висновки, К. Дойч відзначає, зокрема, що „... спосіб, яким політик або державний діяч одержує повідомлення крізь сумбур, плутанину емоцій, відволікаючих моментів і нерозуміння, має формальні аналогії із способом яким інженер-електронщик веде телефонну розмову крізь потріскування статичних електричних імпульсів і перешкоди. Обидва випадки включають проблему передачі імпульсу через шум. Рішення в обох випадках включають знання про відношення шумового сигналу, терпимий рівень шуму і методи відновлення первинного сигналу. „ряд формальних ідей, що мають своє походження в біології, хімії, психології і соціології знайшли своє продовження в створенні самостійних дисциплін, таких як кластерний аналіз. Задача розробки методів класифікації виникала незалежно в різних областях наукового знання будь то класифікація в тваринному і рослинному світі (До. Лінней), або періодична система елементів Д. Менделєєва. Ідея вивчати класифікацію а системі міжнародних відносин належить американському досліднику З. Би. Брамсу. Зрештою, течія в теорії міжнародних відносин, пов'язана з пропагандою і упровадженням математичного інструментарію, одержала назву „модернізм”, або „сайентизм”. Ця течія була широко підтримана не тільки університетською наукою, але і практичними, частіше всього військовими установами. „хрещеним батьком” модерністського напряму в теорії міжнародних відносин називають До. Райта. За оцінкою американських політологів саме міждисциплінарний підхід К. Райта до теорії міжнародних відносин, в якому органічно поєднуються емпіричний і теоретичний підходи, має перспективу.

Ідея абсолютизації того або іншого походу до теорії міжнародних відносин не принесла відчутного результату. Різноманіття питань в теорії міжнародних відносин і зовнішній політиці, що піднімаються, різноманітність вживаних підходів і теорій приводять до необхідності гнучкого походу до всього комплексу задач світової політики. З одного боку, цей підхід повинен забезпечити точність і адекватність якнайкращого в даній ситуації кількісного методу (алгоритму), з другого боку повинен бути забезпечений цілісний, системний підхід, що дозволяє знайти не локальний оптимум, а забезпечити інтереси держави в цілому. Для ілюстрації такого підходу розглянемо приватний приклад. Якщо ставити задачу оптимального регулювання дорожнього руху крупного міста, то задача може бути вирішена, наприклад, установкою на кожному перехресті регулювальника, який направлятиме потоки машин з урахуванням обстановки, що складається на даному перехресті. Чи оптимальна система регулювання руху в місті в цілому, якщо кожний конкретний регулювальник вирішує свою задачу якнайкращим для даного перехрестя чином? Оскільки критерієм функціонування системи руху в місті в цілому може бути деяка функція параметрів всіх перехресть (наприклад, сума часів простоїв всіх автомобілів на всіх перехрестях за відрізок часу), то неважко придумати ситуацію, яка буде неприйнятна для системи в цілому, хоча кожний регулювальник діятиме оптимально в рамках свого перехрестя. Очевидно, повинна функціонувати система зв'язку між окремими регулювальниками і рішення повинні прийматися з урахуванням всієї інформації на всіх перехрестях. Цей простий приклад говорить на користь того, що приватні алгоритми обробки зовнішньополітичної інформації, ухвалення політичного рішення повинні бути зв'язані в єдину систему з єдиною цільовою функцією, яка характеризує якість функціонування системи в цілому. Очевидно, також, що до рішення подібної задачі повинні бути привернуті нові інформаційні технології, що включають методи зберігання, передачі і” обробки великих масивів інформації. Такий підхід дозволяє зберегти все найцінніше в локальних алгоритмах обробки зовнішньополітичної інформації і одночасно забезпечить системність і цілісність в розрахунках.Вживані математичні методи в політичних дослідженнях носять достатньо стійкий характер. Існує стійке мнение,1 що по суті єдиним математичним методом, винайденим спеціально для моделювання міжнародної політики, є модель шотландського математика і метеоролога Люїса Річардсона динаміки озброєння двох країн. Ідеї Л. Річардсона одержали подальший розвиток в роботах У.Р. Каспарі, в М. Вульфсона В. Холіста Р. Абельсона, проте до теперішнього часу ранні роботи Л. Річардсона продовжують служити джерелом нових робіт по динаміці озброєнь. Моделі конфліктної взаємодії, засновані на інших ідеях, приведені, наприклад, в роботах. Інший тип моделей взаємодії держав заснований на припущенні, що політика держав визначається в основному економічними чинниками, тобто, що розвиток політичних процесів зв'язується з економічними показниками, які достатньо хороше виміряні. Статистичні методи на противагу вказаним методам теорії диференціальних рівнянь широко застосовуються при аналізі числового матеріалу. Одна з основних ідей в спробах кількісно зміряти політику полягає в задачі формалізації поведінки держав на Генеральній Асамблеї ООН, де як в дзеркалі відображаються істинні наміри держав, виражені підсумками голосування по резолюціях, що обговорювалися. Найзначніші результати у вказаному направлениии приведені в монографії професорів Масачусетського технологічного інституту X. Алкера і Б. Расета, заснованої на залученні техніки анализа1 чинника. До статистичних методів відноситься також робота З. Брамса і проект „Вимірність націй”, виконаний під керівництвом Р. Раммеля. статистично-логічні методи присутні і в інших аналітичних методах аналізу міжнародних відносин, таких як контент-зал, івент-аналіз і метод когнітивного картирування. Вживанню івент-аналізу в сучасній політології присвячена стаття С.И. Лобанова .

В напрямі, пов'язаному з моделюванням, помітне місце займає експериментально-ігрове, засноване на імітації економічних, військових, соціальних і політичних аспектів реальності. Звідси виникають „соціологічні ігри”, „економічні ділові ігри”, „військові ігри”. Відзначимо основні з таких ігор. Відомі моделі інформаційної взаємодії учасників міжнародного кризису - CRISISCOM, IN§, INSKIT, GASCON, створені а США в Північно-західному і Стенфордському університетах. Відзначимо також спроби проаналізувати в'єтнамський конфлікт в массачусетському технологічному інституті за допомогою „теорії метаігор”.

Модель професора Оклахомського університету О. Бенсона, названа „Проста дипломатична гра”, пов'язана з ідеєю наявності в міжнародних відносинах схеми „стимул-реакція”. Асоціація з грою тут виявляється в тому, що кожна дія однієї сторони інтерпретується як хід („стимул”), а у відповідь дія іншої сторони, як „реакцію „- у відповідь хід. Висловимо ідею „Простої дипломатичної гри” в її модернізованому варіанті Дж. Кренда. Є сукупність держав, що характеризуються деякими параметрами і взаємними зв'язками. Деяка держава скоює проти деякого іншого ворожу акцію, яка розглядається як „стимул” певної інтенсивності. Цей „стимул” викликає, по-перше, у відповідь „реакцію” не тільки з боку держави, яка з'явилася об'єктом дії, але і з боку всієї решти держав, і, по-друге, - зміна параметрів, що характеризують всі держави, і їх зв'язків. На цьому цикл „гри” закінчується. Дослідник, який ввів в ЕОМ вказаний „стимул”, може продовжити „гру” в умовах, що змінилися, ввівши новий „стимул”, відповідний ворожій дії деякої іншої держави проти деякої нової „держави-мети” і одержати нову реакцію і т.д. Дослідник може також повернутися до первинної ситуації і спробувати ввести інший „стимул” як по спрямованості, так і по інтенсивності, і подивитися, що з цього вийде.

Як приклад приведемо конкретні приватні методики використовування комп'ютерних засобів у вивченні міжнародних відносин. До ігрових імітаційних засобів відносяться настільна гра КБК, створена М. Катаному, А. Бернсом і Р. Квондом і названа так по перших буквах їх прізвищ.Мета авторів ігри - допомогти теоретикам в розумінні їх власних побудов. Автори не намагаються імітувати якийсь реальний політичний процес, а хочуть лише виявити внутрішню теорії і моделі, визначити і відтворити механізми, які визначають стабільність даної системи, Під стабільністю автори розуміють такий стан, при якому жодна навіть сама слабка країна не може бути поглинена іншими державами, зруйнована або розділена між ними, Загальний ігровий простір є сумою підпросторів, кожне з яких знаходиться у винятковому розпорядженні окремого гравця. Цей підпростір є системою лунок, в яких розміщуються однорідні фішки-ресурси: економіка, військовий резерв, межі. Правила ходів визначають дозволені способи переміщення фішок в лунках. Економічні ресурси можуть збільшуватися з часом за заданою стохастичною процедурою, що символізує економічний розвиток держави. Озброєні сили, розгорнені на межах, можуть вступати у війну, тобто можуть бути зняті з дошки за певною процедурою, що нагадує рішення рівнянь Ланчестера методом Монте-Карло. Війна ведеться до повного виснаження сторін. Ходи робляться по черзі по кругу. Гравець при своїй черзі може звернутися до інших з пропозицією про висновок або розірвання союзу. Союзники відводять війська, розташовані на межах один одного. Якщо при своїй черзі ходу гравець залишається без фішок, то він вибуває з гри, тобто програє. Що залишився в грі признається абсолютним переможцем, хоча гра може продовжуватися і нескінченно довго, оскільки можливе нескінченне балансування гравців, охочих лише утриматися в грі. Не володіючи практичною цінністю, ця гра проте має теоретичне значення, утілюючи в собі деякий підхід до методики моделювання системи міжнародних відносин. Складнішої і багатої ідеями є гра INS, або „Міжнародна імітація”, розроблена Г. Гетцковим із співробітниками, в основному Для навчання студентів (Північно-західний університет, США); в південно-каліфорнійському університеті створена інформаційно-аналітична і прогнозуюча людино-машинна система-ВБИС2.

1.2.2. Необхідність побудови математичних моделей зовнішньополітичної поведінки на єдиній методологічній основі

Основний недолік існуючих моделей полягає в тому, що кожний ним слідчий в основу своїх висновків кладе власну систему індикаторів (показників), користується своєю базою даних, відмінною від іншого дослідника і, нарешті, розглядає задачу у власному просторі з своєю системою координат. Недивно, що часто висновки різних дослідників в характері поведінки політичного процесу виявляються діаметрально протилежними. Мабуть, немає ніякого інструментарію, що дозволяє погоджуватись висновки різних математичних моделей в різних математичних структурах. В той же час, ці математичні моделі можуть бути цілком коректними і далеко нетривіальними. Подібне положення справ підриває довір'я до кількісних методів дослідження політичних процесів; у не математиків складається враження про можливість „строгого доказу” будь-якого наперед заданого висновку (навіть невірного) в політичних дослідженнях. Як відомо, математична софістика (тобто мистецтво доводити помилкові положення) процвітає саме тоді, коли-небудь відсутні чіткі визначення в теорії, або суперечлива система аксіом, що використовується. Остання вимога спонукає до необхідності логічного аналізу всієї системи структур і визначень в математичних моделях системи міжнародних відносин для того, щоб усунути виникаючі суперечності. Але це і означає, що нова теорія автоматично включить як структурні одиниці деякий набір локальних моделей, може бути містить його моделлю більш високого рівня, що покривається. Таким чином, універсальна модель політичної поведінки може бути інтерпретована як банк локальних математичних моделей, що описують окремі ситуації. Така модель автоматично стає моделлю глобальної динаміки, оскільки економічні, військові, наукові, екологічні і інші аспекти міжнародних відносин, очевидно, виявляться взаємозв'язані в універсальній моделі, якщо тільки ми хочемо мати скільки-небудь представницьку систему аналізу світової динаміки. Як відомо, дотепер не утихають суперечки про те, що первинне - політика або економіка: політичні відносини визначають рівень економічної взаємодії держав або ж навпаки рівень економічного співробітництва визначає політичні пристрасті держав. Моделі світового розвитку є потужним інструментарієм для вивчення і прогнозування глобальної динаміки. Велику популярність здобули проекти, розроблені за замовленням римського клубу - міжнародної неурядової організації, створеної в 1968 р. італійським промисловцем А, Печчеї з метою вивчення глобальних проблем.Технократичний підхід, домінуючий в перших докладах римському клубу (Форрестер, Медоуз і ін.) згодом стимулював розвиток і чисто гуманітарних аспектів проблеми. Глобальне моделювання стало модним науковим напрямом, в якому опинилися задіяними дослідники самих різних спеціальностей: математики, економісти, політологи, демографи. Різноманітність підходів і проектів в дослідженні процесів світового розвитку привела до необхідності класифікації моделей і їх осмислення, визначення місця і ролі конкретних моделей в існуючому їх різноманітті. Таким чином, поставлена проблема узгодження локальних моделей повинна бути вирішена в системі багатопараметричної макромоделі світового розвитку, об'єднуючої основні національні, регіональні і глобальні моделі розвитку. Частково ця ідея реалізована у відомій системі LINK. Універсальна модель світового розвитку виявляє собою своєрідний банк моделей, заснованої на системі класифікації, кодування і програмно-орієнтованого доступу, передбаченого системою генерації нових локальних моделей.

Ситуація з організацією подібного банку моделей багато в чому аналогічна з ситуацією навкруги різноманіття методів кластерного аналізу, широко вживаного для структурної класифікації потоків інформації. Не існує єдиного алгоритму кластер-аналізу, однаково добре працюючого як на слабо структурованих масивах інформації, так і на масивах, з яскраво вираженими „згустками”. Тому, для дослідження конкретного інформаційного масиву має сенс вибирати з банку алгоритмів той метод, який дасть якнайкращу (в значенні відповідного критерію) класифікацію. Такий вибір відповідного методу може бути здійснений автоматично з використанням попередньої процедури детермінації початкового масиву. Функціонал якості класифікації може бути вибраний різним чином на наявній безлічі алгоритмів кластер-аналізу.

У відмінності від ситуації з побудовою універсального алгоритму кластер-аналізу створення універсальної моделі світового розвитку як своєрідного банку національних, регіональних і глобальних моделей полегшується наявністю в безлічі існуючих моделей світового розвитку часткового порядку по вкладенню: регіональні і глобальні моделі створюються в основному як синтез національних моделей. Тому нижнім (початковим) рівнем універсальної моделі буде набір національних і регіональних моделей розвитку. Верхнім же рівнем будуть як існуючі макромоделі, засновані на синтезі національних моделей, так і нові моделі, що описують взаємодію вибраних моделей нижнього рівня. При цьому основну роль гратиме взаємозв’язка (балансування) моделей нижнього рівня, з яких будується модель верхнього рівня. Загальна ідея взаємозв’язки моделей розвитку належить Л. Клейну - професору пенсільванського університету (США), яка реалізована в розробленому під його керівництвом проекті „ЛІНК”. Основною задачею при такому підході до ув'язки різних національних моделей є прогнозування матриці парних взаємостосунків між країнами (торгових потоків в економічних моделях), що в системі „ЛІНК” робиться за допомогою методу Стоуна-Морігучі. Для підвищення точності прогнозів можна також використовувати метод Бокса-Дженкінса прогнозування тимчасових рядів або - спектральні методи, які можуть бути ефективні як при довгостроковому, так і при короткостроковому прогнозуванні. Принципова відмінність побудови універсальної моделі світового розвитку як спеціально організованого банку національних моделей від побудови універсального алгоритму кластер-аналізу як банка окремих процедур класифікації полягає в наступному. Окремі алгоритми структурної класифікації даних займають відносно невеликий об'єм машинної пам'яті і не вимагають, як правило, скільки-небудь значної витрати машинного часу. Універсальна модель, що вибирає для дослідження пропонованого інформаційного масиву відповідну систему класифікації з тих, що є в банку, принципово може бути створена. Такі моделі у вигляді пакетів прикладних програм для статистичної обробки даних створені, наприклад, в ЦЕМІ РАН під керівництвом С.А. Айвазяна. Створення ж аналогічного пакета національних моделей в одній системі зіткнеться з великими технічними труднощами, викликаними необхідністю мати в машинній пам'яті великий набір програм, що реалізовують моделі національного, регіонального або світового розвитку.

Таким чином, на перший план висувається задача організації кодуванняі класифікації окремих моделей, що входять в банк - каталог, що виявляє собою шукану універсальну модель. Роль універсальної моделі в дослідженні заданого об'єкту (країни, регіону) припускає тим самим не остаточне обчислення значень фазових змінних, а вказівка параметрів моделі, кото-1 раю дасть ці значення з найбільшою правдоподібністю в порівнянні з іншими моделями. Відзначимо, що в задачах ухвалення рішення в багатокритерійному випадку згортка критеріїв приводить до втрати інформації: будь-який вектор несе в собі більше інформації, ніж одержуваний з нього скаляр. Точно також, якщо ми хочемо, щоб універсальна модель несла в собі інформації не менше ніж будь-які з існуючих локальних моделей національного, регіонального або світового розвитку, потрібна не „згортка” цих моделей, а організація доступу до всієї групи, що представляється, моделей.

Нарешті, взаємозв’язка моделей в універсальній моделі повинна бути під контролем деякого глобального універсального векторного критерію. В системі міжнародних відносин дослідник, що стоїть на позиції детермінізму, повинен визнавати наявність світового порядку як вищої мети над національними (локальними) критеріями. Такий критерій може реалізовуватися в конкретних випадках по-різному, він може бути інтерпретований різними способами, але, безумовно, одне - такий критерій повинен бути вкладений в інший, більш могутній, але він не може бути незрівнянний з іншим таким критерієм. Одним з таких критеріїв в теорії міжнародних відносин є поняття „потужності”, „могутність” - термін „POWER”, введений Г. Моргентау і має витоки в античній теорії державного пристрою як символ справедливого правління.

1.2.3. Функціональні простори і проблема представлення залежності як суперпозиції елементарних

Розглядаючи політичні процеси і об'єкти як функції на безлічі політичних індикаторів, ми тим самим стаємо перед проблемою характеризації цих математичних об'єктів, знаходженні серед них основних, базових, з яких виходить безліч інших досліджуваних об'єктів. Інша виникаюча проблема - це проблема метрики, тобто, які об'єкти (функції) ми вважатимемо близькими (схожими), а які навпроти далекими, істотно тими, що розрізняються по своїх характеристиках.

У виникаючих моделях в системі міжнародних відносин разом з проблемою метрики (тобто, фактично характеризації виникаючих функціональних просторів) виникає проблема допустимості даних математичних абстракцій. Відомий парадокс Кантора, пов'язаний з категорією „безлічі взагалі всіх множин” приводить до нерозв'язної суперечності, вихід з якої, очевидно, тільки один - заборонити розгляд подібних конструкцій. Тим самим ставляться певні межі абстрагуванню. Це ж питання виникає при розгляді допустимої безлічі функцій, створюючи дані функціональні простори (ясно, що раз не можна розглядати „безліч узагалі всіх множин”, отже, не можна розглядати і характеристичну функцію цієї множини.

Проблема функціональної залежності, проте, багато складніше апорій Зенона. Кантора і т.п.

Інтуїтивне сприйняття функціональної залежності як прояв зв'язку явищ в різних модифікаціях властиве людству з давніх часів, математика протягом всієї історії свого розвитку тими або іншими засобами намагалася виразити цей зв'язок.

Починаючи з навчанням античних математиків про геометричні місця і складанням всіляких таблиць поняття функції зазнавало всі нові і нові зміни. Згадки про функціональну залежність зустрічаються у П. Ферма( 1636 р.), Р. Декарта (1637 р.), И. Барроу (1669 р.). Термін „функція” зобов'язаний своєю появою В. Лейбніцу(1692 р.). Так чи інакше поняття функції зв'язувалося з якимсь аналітичним виразом, задаючим її, Так у И. Бернуллі (1718 р.) „функція, це величина, складена із змінної і постійної”; у Л. Ейлера „функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений яким-небудь чином з цієї змінної кількості, чисел або постійних кількостей”.

Перехід від інтуїтивного сприйняття функції до її більш менш схожому на сучасне визначення намітився в знаменитій суперечці про звучну струну.

В XVIII столітті, закінчивши вивчення систем з одним ступенем свободи, математики переходять до систем з декількома ступенями. В 1727 р. Іоганн Бернуллі, а в 1732-1736 рр. Данило Бернуллі і Леонард Ейлер розглядають тільки головні коливання навантаженої невагомої струни. Розглядаючи тільки головні коливання системи, ні Бернуллі, ні Ейлер не помітили, що у разі довільного руху справедливий принцип суперпозиції, тобто складання головних коливань, хоча теоретики музики (Рамо, наприклад, в 1726 р.) давно указували, що окрім основного тону музичного інструменту є ще і обертони. Існував навіть помилковий погляд, що головними коливаннями струни і вичерпуються всі можливі коливання системи (Тейлор, Д. Бернуллі).Рішення задачі про струну, дане майже одночасно Д'Аламбером і Л. Ейлером (відповідно в 1747 і 1748 рр.) при зовні формальній схожості мали принципово різний зміст, що виражається в різному розумінні Функції. Якщо Д'Аламбер усюди під функцією розумів певний аналітичний вираз, то Ейлер, не відкидаючи це, допуску функції як відповідність за допомогою кривої, утвореної „вільним рухом руки”, або навіть Функції змішаного типу, тобто на одних ділянках один аналітичний вираз, на інших інше або навіть довільна крива.

Трапилося так, що розвиток конкретного матеріалу переріс рамки концепцій і точок зору, що склалися раніше, на основні поняття аналізу. Відсутність належної строгості в обгрунтовуванні накопичених результатів, настійні вимоги коштують практичних задач приводили до перегляду основ аналізу таких як „довільна крива”, „функція”, „інтеграл” і т.п. Губився органічний зв'язок між чистим і прикладним знанням, здорова рівновага між абстрактною спільністю і повнокровною конкретністю була порушена „...віддавшись справжній оргії інтуїтивних припущень, перемішуючи несуперечливі висновки з безглуздими, підлога у містично мі твердженнями, сліпи довіряючись надлюдській силі формальних процедур (математики) відкрили новий математичний світ, повний незчисленних багатств...”. Але вимоги евклідової строгості і внутрішньої естетики брали своє.

„в XIX сторіччі усвідомлення необхідності консолідувати науку, особливо) у зв'язку з потребами вищої освіти ... повело до ревізії основ математики з'ясуванню понять межі. Таким чином, XIX не тільки став епохою нових успіхів, але і був ознаменований плідним поверненням до класичного ідеалі точності і строгості доказів. „ Зараз, озираючись назад, важко дати об'єктивну оцінку позицій всіх сторін, що сперечаються, і аналіз всі XVIII труднощів, що стоять перед математиками, можна лише з певним ступенем упевненості сказати, що основне питання в полеміці Ейлера і Д'Аламбера було таким якщо відхилювати струну довільним чином, то чи існує формула, що дає її форму? Рішення цього питання немає ні у Ейлера і Д' Аламбера, ні в більш пізніх роботах Бернуллі і Лагранжа. Питання актуальне дотепер. „суперечка про звучну струну все ще триває, тільки, зрозуміло, вже зовсім в іншій науковій обстановці, іншими особами і в іншій термінології”. Безперервне поглиблення поняття функції і його еволюція продовжується і понині. Жодне формальне визначення, як пише Н.Н. Лузін, не може охопити всього зміст поняття функції, засвоїти яке можна лише прослідивши основні лінії розвитку, пов'язаного з розвитком природознавства, зокрема, математичної фізики. Нас цікавить, природно, таке питання: коли, на якому етапі свого розвитку поняття функції і тригонометричного ряду стикуються між собою! даючи могутній апарат аналітичного уявлення на додаток до служимо шему роками вірним і, мабуть, єдиним засобом аналітичного уявлення - апарату статечних рядів?

Тригонометричні ряди як такі мають свою історію, висхідну до Ейлеру. В листі до Гольдбаха в 1744 р. Ейлер наводить приклад розкладання:

одержуючи його методом статечних рядів. „поява вказаного ряду у Ейлере була справою чисто випадковим і в усякому разі нічого по суті для розуміння природи і характеру, а також можливості уявності довільних функцій тригонометричними рядами не давало. Ейлер тут стояв на чисто аналітичній точці зору.”5

Поява тригонометричних рядів у Ейлера, як рахує А.Б. Паплаускас має прикладний характер, а самі ряди були лише інструментом дослідження різних питань астрономії, зокрема, небесної механіки. Тому Ейлер і не піднімає питань обгрунтовування збіжності і розкладності. Узгодження на практиці одержаних результатів з дійсністю наштовхує Ейлера на інші розкладання. „часто говорять, що Ейлер... інстинктивно знаходив тільки правильні результати, хоча і слідуючи помилковим шляхом: але сказати це - значить дуже багато: математика перейшла до свого порядку денного через свої неправильні результати”.

Досліди із звучною струною з'явилися тим пробним, на якому перевірялася концепція Д. Бернуллі. Вони поколивали його первинну думку про існування тільки головних коливань, приводячи до відкриття принципу суперпозиції, д. Бернуллі знайшов, що найзагальніший рух струни описується виразом

Тут основний тон визначається першій складовій, їй відповідає період Т,=2 I/a, іншим відповідають періоди Т2=1/2Т1, і т.д. Рішення, повне фізичного змісту, перевірене експериментом і що узгоджується з миючими вченням про обертони, привело Д. Бернулли до переконання, що всі рішення Д’Аламбера і Ейлера охоплюються цим. Таким чином, виникнувши з прикладних задач тригонометричні ряди знаходили в практиці як своє непряме обгрунтовування, так і місце додатку.Робота Бернуллі була піддана критиці як з боку Ейлера, так і з боку Д’Аламбера. Ніхто не вірив, що за допомогою тригонометричних рядів можна представляти будь-які функції, задані графічно. Позначалася відсутність чіткого поняття функції (у всіх були різні думки), і дуже сильно тиснув на все нове важкий вантаж аналітичного уявлення статечними рядами, що служили протягом років єдиним засобом аналітичного уявлення.

Свіжий струмінь вдихнув Лагранж, застосувавши новий, відкритий ним метод. Одержавши результат Бернуллі аналітичним чином і частина результатів Ейлера, він проте не зміг їх строго обгрунтувати, змішуючи поняття великого і бесконечного, дискретного і безперервного, не обгрунтовувавши постійні переходи до межі. Д'Аламбер критикував нестрогість міркувань Лагранжа, його тези „...ні одна людина, замінивши ряд 1 + х + х2 +... на 1/(1 -х ) ще не вчинив помилку”, „...природа не може зупинити викладень, оскільки фізично кутових крапок у струни немає, а завжди є той, що деяка закруглює, викликана жорсткістю струни”.

Лагранж майже дійшов до формул Фур’є, але так і не відкрив їх. В 1807 р. Французький математик і фізик Жан Батист Фур’є в роботах по аналітичній теорії тепла вказав, що зв'язні лінії, задані на кінцевих ділянках рівняннями, уявних на будь-якій такій ділянці тригонометричним рядом

Тим самим всі Ейлерові криві, накреслені вільним рухом руки, виявилися охопленими апаратом тригонометричних рядів. Згладилася невідповідність між уявленням про функціональну залежність і обмеженістю аналітичних засобів їх виразу. Відкриття Фур’є поставило крапку в багаторічній суперечці про струну і послужило великим поштовхом до подальшого розвитку поняття функції і аналізу в цілому.

Необхідно відзначити, що поява парових машин, різних систем і механізмів, пов'язаних з періодичними процесами, поставлена безліч практичних задач, непіддатливих рішенню старими методами, виявивши тим самим потребу у відповідному аналітичному апараті. Створення такого апарату, саме, апарату тригонометричних рядів в роботах Фур’є історично дав новий стимул в розвитку математики в цілому. Подальший розвиток цього апарату йшов по лінії додатків всередині самому математики.

З сучасної точки зору цей факт є однією із закономірностей процесу творчого мислення, коли від індуктивного синтезу (в даному випадку величезного практичного матеріалу і аналітичної техніки XVII-XVHM століть) через стадію аксіоматизації (тобто створення визначень, аксіом, що служать основою теорії, що розвивається) слідує перехід до додатків створеної індуктивної теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебеггі Кантора, Веєрштрасса.

Слід зазначити, що відкриття Фур’є стоїть на шляху відвернення від таких властивостей функцій як аналітичність, гладкість, зображена єдиним аналітичним виразом, збереженням властивостей, що мають місце в деякій околиці на всю область визначення. Подальший розвиток теорії функцій має, на наш погляд, дві тенденції.

Одна з них виявляється в подальшому підвищенні рівня абстракції, відвернення від приватних властивостей, таких як безперервність, вимірність в значенні Бореля, інтегрується. Це приводить Лебега до створення нового інтеграла, Лузіна до нового поняття первісної, Цермело до понять, основними, що є, в аксіоматиці теорії функцій і множин. З другого боку, видне прагнення індивідуалізуватися деякі класи функцій по сукупностям властивостей, конкретизувати об'єкти, що вивчаються. Відзначимо на цьому шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про виділення класів функцій речовинного змінного і Веєрштрасса, Мітгаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячи достатньо загальні властивості функцій, не можна, очевидно, приписати їх взагалі всім функціям, тобто йде конкретизація класу функцій по знайденій властивості. Нарешті, в математиці завжди бажано знати, наскільки даний клас функцій можна розширити, якщо абстрагуватися від деяких приватних властивостей. Так, наприклад, від аналітичних функцій переходять до квазіаналітичних, гармонійних до квазігармонійних гільбертові простори Lp підсумовуваних функцій до нормованого і навіть метричному просторам і т.п. Цей взаємозв'язок абстрактного і I конкретного є однією з внутрішніх причин розвитку математики. Але відкриття Фурье не означало проголошення спокійного життя математикам, хоча і дозволило більшість проблем. І не тільки тому, що (як це з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) поняття функції достатньо змістовне, щоб допускати вичерпну формалізацію, „...раз виникнувши, ідеї не тільки існують самостійно, але і можуть породжувати нові ідеї. Тому внутрішні логічні взаємозв'язки придбавають величезне значення в розвиток науки, особливо такою абстрактною, як математика.”Відкриття Фур’є створило умови трактування функції як відповідності вельми загального вигляду. З'явилися визначення у Лакруа, Лобачевського, Діріхле вельми близькі до сучасного. Було ясно, що поняття функції і її аналітичного виразу апріорі не адекватні. Основні питання, що виникли після відкриття Фур’є - це питання збіжності і можливості представлення функції рядами - вже для своєї коректної постановки зажадали введення нових понять. Приклад безперервної функції з рядом Фур’є, що не всюди сходиться, даний Дю-Буа-Раймондом, поставив природне питання: якщо вже для безперервних функцій не вдається добитися уявлення у вигляді ряду Фур’є, що усюди сходиться, то може бути слід уточнити саме поняття „уявлення”? Сприймати функцію як щось дане в завершеному стані, або вимагати можливості конструктивної побудови; які засоби допустимі як елементи конструкцій? Грубо кажучи, кривих виявилося більш ніж формул, як вже наголошувалося знов утворився розрив між арсеналом засобів аналітичної зображеної функцій і самими функціями. Слід зазначити, що в подоланні виникаючих утруднень і зароджуються нові методи, які представляють якісні скачки в розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стояли на позиціях того, що математика розвивалася і якісно розвиватиметься, що неминучі ті, що революціонізували, відкриття, що надовго визначають напрями розвитку математики, а, отже, неминучі парадокси і суперечності. Можна привести багато прикладів „мертвих” розділів науки, які раптом „оживали” (наприклад, теорія магнетизму у фізиці). Проте, тезу про безперечну наявність постійних якісних стрибків в розвитку слід застосовувати лише до достатньо широких, змістовних областей знання (порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвивається, окремі її ділянки можуть деградувати). На питання про можливість відкриття” в проективної геометрії, що „революціонізувало, фахівці, напевно, відповідять негативно. Таким чином, разом з рішенням основної задачі зображеної функції тригонометричним рядом Фур’є дали плідну їжу для розвитку різних розділів математики.

Які ж шляхи подальшого розвитку функціональної залежності, її сучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного і субстанціонального статусів функції - ці проблеми завжди виникають навкруги будь-якого змістовного поняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а також приклади Веєрштрасса і Ван-дер-Вардена спонукали математиків до розгляду і більш загальних функцій, ніж безперервні або входять в класифікацію Бера. нерозуміння і недовір'я панувало в кругах старих консервативних математиків.

„ Я з жахом і огидою відвертаюся від цієї розростаючої язви функцій, похідної”-, що не мають, писав Ерміт. Виникнення нових модних методів (теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла і заходи Лебега) спричинило за собою появу нових функціональних просторів і видів сходи-Мости. В роботах Діріхле, Пуассона, Жордана указуються класи функцій, для яких збіжність ряду Фур’є безумовно гарантована. Тригонометричні ряди виявляють цікаві властивості (явище Гібса, принцип локалізації), нарешті „наводиться теорія” на диференціювання і інтеграцію тригонометричних рядів, що зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертація Римана намічає нові підходи до загальних тригонометричних рядів. Надзвичайно тонкі технічні методи дозволили Д.Е. Меньшову майже остаточно вирішити питання про зображену функції тригонометричним рядом, а також питання про цілісність.

В 1905 р. А. Лебег ввів поняття аналітично зображеної функції, як Функції, значення якої виходять з аргументу і постійних величин за допомогою арифметичних операцій і граничних переходів. Приклад А. Лебега, ті. Створення такого апарату, саме, апарату тригонометричних рядів в роботах Фур’є історично дав новий стимул в розвитку математики в цілій. Подальший розвиток цього апарату йшов по лінії додатків усередині самої математики.

З сучасної точки зору цей факт є однією із закономірностей процесу творчого мислення, коли від індуктивного синтезу (в даному випадку величезного практичного матеріалу і аналітичної техніки XVII-XVIM століть) через стадію аксіоматизації (тобто створення визначень, аксіом, які слугують основою теорії, що розвивається) слідує перехід до додатків створеної індуктивної теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебеге, Кантора, Веєрштраса.

Слід зазначити, що відкриття Фур’є стоїть на шляху відвернення від таких властивостей функцій як аналітичність, гладкість, зображена єдиним аналітичним виразом, збереженням властивостей, що мають місце в деякій околиці на всю область визначення. Подальший розвиток теорії функцій має, на наш погляд, дві тенденції.Одна з них виявляється в подальшому підвищенні рівня абстракції, відвернення від приватних властивостей, таких як безперервність, вимірність в значенні; Бореля, інтегрується. Це приводить Лебега до створення нового інтеграла, Лузіна до нового поняття первісної, Цермело до понять, що є, в аксіоматиці теорії функцій і множин. З другого боку, видне прагнення індивідуалізуватися деякі класи функцій по сукупності властивостей, конкретизувати об'єкти, що вивчаються. Відзначимо на цьому шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про виділення класів функцій речовинного змінного і Веєрштраса, Міттаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячи достатньо загальні властивості функцій, не можна, очевидно, приписати їх взагалі всім функціям, тобто йде конкретизація класу функцій по знайденій властивості. Нарешті, в математиці завжди бажано знати, наскільки даний клас функцій можна розширити, якщо абстрагуватися від деяких приватних властивостей. Так, наприклад, від аналітичних функцій переходять до квазіаналітичних, гармонійних до квазігармонійних гільбертового простору L2 підсумовуваних функцій до нормованого Lp (p > 1) і навіть метричному Lp (0 < р < 1) просторам і т.п. Цей взаємозв'язок абстрактного і конкретного є однією з внутрішніх причин розвитку математики. Але відкриття Фур’є не означало проголошення спокійного життя математикам, хоча і дозволило більшість проблем. І не тільки тому, що (як це з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) поняття функції достатньо змістовне, щоб допускати вичерпну формалізацію, „...раз виникнувши, ідеї не тільки існують самостійно, але і можуть породжувати нові ідеї. Тому внутрішні логічні взаємозв'язки придбавають величезне значення в розвиток науки, особливо такою абстрактною, як математика"

Відкриття Фур’є створило умови трактування функції як відповідності вельми загального вигляду. З'явилися визначення у Лакруа, Лобачевського, Діріхле вельми близькі до сучасного. Було ясно, що поняття функції і її аналітичного виразу апріорі не адекватні. Основні питання, що виникли після відкриття Фур’є - це питання збіжності і можливості представлення функції рядами - вже для своєї коректної постановки зажадали введення нових понять. Приклад безперервної функції з рядом Фур’є, що не всюди сходиться, ванний Дю-Буа-Раймондом, поставив природне питання: якщо вже для безперервних функцій не вдається добитися уявлення у вигляді ряду Фур’є, що усюди сходиться, то може бути слід уточнити саме поняття „уявлення”? Сприймати функцію як щось дане в завершеному стані, або вимагати можливості конструктивної побудови; які засоби допустимі як елементи конструкцій? Грубо кажучи, кривих виявилося більш ніж формул, як вже наголошувалося знов утворився розрив між арсеналом засобів аналітичної зображеної функцій і самими функціями. Слід зазначити, що в подоланні виникаючих утруднень і зароджуються нові методи, що представляють якісні скачки в розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стояли на позиціях того, що математика розвивалася і якісно розвиватиметься, що неминучі ті, що революціонізували, відкриття, що надовго визначають напрями розвитку математики, а, отже, неминучі парадокси і суперечності. Можна привести багато прикладів „мертвих” розділів науки, які раптом „оживали” (наприклад, теорія магнетизму у фізиці). Проте, тезу про безперечну наявність постійних якісних стрибків в розвитку слід застосовувати лише до достатньо широких, змістовних областей знання (порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвивається, окремі її ділянки можуть деградувати). На питання про можливість відкриття” в проектованої геометрії, що „революціонізувало, фахівці, напевно, відповідять негативно. Таким чином, разом з рішенням основної задачі зображеної функції тригонометричним рядом Фур’є дали плідну їжу для розвитку різних розділів математики.

Які ж шляхи подальшого розвитку функціональної залежності, її сучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного і субстанціонального статусів функції - ці проблеми завжди виникають навкруги будь-якого змістовного поняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а також приклади Веєрштраса і Ван-дер-Вардена спонукали математиків до розгляду і більш загальних функцій, ніж безперервні або входять в класифікацію Бера. нерозуміння і недовір'я панувало в кругах старих консервативних математиків.„ Я з жахом і огидою відвертаюся від цієї розростаючої язви Функцій, похідної”-, що не мають, писав Ерміт. Виникнення нових модних методів (теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла і заходи Лебега) потягло за собою поява нових функціональних просторів і видів сходи-Мости. В роботах Діріхле, Пуассона, Жордана указуються класи функцій, для яких збіжність ряду Фур’є безумовно гарантована. Тригонометричні ряди виявляють цікаві властивості (явище Гиббса, принцип локалізації), нарешті „наводиться теорія” на диференціювання і інтеграцію тригонометричних рядів, що зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертація Рімана намічає нові підходи до загальних тригонометричних рядів. Тонкі технічні методи дозволили Д.Е, Меньшову майже остаточно зшити питання про зображену функції тригонометричним рядом, а також просто єдиності.

В 1905 р. А. Лебег ввів поняття аналітично зображеної функції, як функції, значення якої виходять з аргументу і постійних величин при допомозі арифметичних операцій і граничних переходів. Приклад А. Лебега, вимірної функції, що не допускає згадане зображення, провів наЯ що коштує фурору.

Здавалося б беззмістовне за часів Ейлера і Д' Аламбера запитання що приписати як сума ряду, що розходиться, - одержав остаточний розвиток в роботах Пуассона, Рімана, Фейера. Ейлерові операції з розбіжними рядами знайшли своє обгрунтовування. Наполеону приписуються слова: „я спочатку завоюю цю землю, а потім знайдуться юристи, щоб обгрунтувати цей акт.” Н математиці відмова від строгих обгрунтовувань часто приводила до сильних результатам, не говорячи вже про пріоритет. Багато результатів Якобі носили бездоказовий характер, „для гаусової строгості у нас немає часу” - говорив він на лекції своїм студентам. Але Якобі випередив багато своїх сучасників, які згодом строге передоказали його результати.

„...в теперішній час математика менш ніж коли-небудь зводиться до чисто механічної гри з ізольованими формулами, біліше ніж коли-небудь інтуїція неподільно панує в генезисі відкриттів. „в той же час „зневага до розробки логічної основи нових теорій часто приводить до кустарництва. Взаємозв'язок інтуїтивного і логічного є необхідний момент в розвитку будь-якої галузі математики. Функції комплексного змінною були набагато більш детально вивчені, коли комплексні числа сталі інтерпретувати як точки площини; назад, комплексний аналіз лише тоді придбав постійну форму, коли став логічно спроможний. Вимоги логічної строгості і консистентності (повнота) основних положень теорії разом із строгим” правилами висновку є одним з критеріїв істинності теорії.

Основне питання в теорії рядів Фур’є - питання збіжності. Після Фур’є вся перші спроби дати строге доведення загальної теореми про збіжність тригонометричних рядів закінчилися невдачею. І, проте, доведення назрівало.

Недоліком існуючих робіт була відсутність точних формулювань умов, при яких указувалися теореми. Честь відкриття умов, що гарантували збіжність, як вже указувалося випалу Діріхле. Питання про те, наскільки повно дозволяє судити ряд Фур’є функції про її поведінку залишався відкритим. Леопольд Феєр своїм результатом про (С,1) - торб мируемости майже усюди ряду Фур’є до Функції, що породила його, показав, що ряд визначає функцію по модулю безлічі міри нуль, про те, що (С,1) сумування тут не можна замінити на звичайну збіжність було доведено в набагато більш пізній роботі А.Н. Колмогорова. Зусиллями Карлесона і Хантл питання про структурні властивості функцій з тими, що сходяться майже усюди рядами Фур’є одержало, мабуть, достатньо вичерпне рішення. Апарат що використовується в цих новітніх роботах, показує, наскільки глибоко розвивалась теорія тригонометричних рядів.

Приблизно до XIX століття математиків цікавили і питання опис субстанціональних об'єктів (числа, прямі, множини, функції і т.п.), питання про „реальне” існування таких об'єктів як, скажімо, ряд або послідовність. Прагнення виражати мовою логіки всі поняття математики з основних привело до переконання про необхідність не визначати деякі об'єкти.

„математики XIX сторіччя сталі потроху зміцнюватися в думці, що питання Ll значенні цих понять як субстанціональних об'єктів в рамках математикиі взагалі де б то не було) просто не має сенсу. Математичні твердження, в які входять ці терміни, відносяться не до фізичної реальності... Питання про те, „ніж насправді” є крапки, прямі і числа, не може і не повинна обговорювати математична наука. „ Звичайно ж математика повинна обговорювати питання про логічну спроможність тих або інших визначень, наприклад, визначення „кардинальне число безлічі всіх кардиналів” і т.п.; проблеми ж природи математичних абстракцій суть прерогатива філософії і вони є окремим випадком так званої проблеми „про онтологічний статус універсалій”. Вживання математичних методів повинне бути обмежено розумними межами. Відома критика Е. Маху, який в своїх роботах зводив всі зв'язки в природі до функціональних („в природі немає ні причини, ні слідства...”). З точки ж зору сучасної математики єство поняття функції полягає в способі відповідності між двома сортами об'єктів вельми загальної природи. Придбаваючи свою конкретну реалізацію в різних способах завдання (словесному, табличному, аналітичному, графічному) воно лише відображає істоту відповідності. Питання, пов'язані з бажанням знайти спосіб зображеної функції, що охоплює всі вказані способи, одержали достатньо вичерпне рішення завдяки апарату тригонометричних рядів.

Таким чином, виникнувши в різний час з потреб практики і потреб самої математики, пройшовши тривалий шлях розвитку від інтуїтивного рівня розуміння до розвиненого сучасного апарату, поняття функції і тригонометричного ряду виявилися вельми спорідненими і взаємозв'язаними.

1.2.4. Основні підходи використовування систем індикаторів для аналізу зовнішньополітичних процесів

Існуючі теорії зовнішньої політики так чи інакше засновані на використовуванні як початковий елемент деякої статистичної бази. Така база повинна грунтуватися на прийнятому порядку формування емпіричного матеріалу, тобто на виборі системи показників, що описують систему міжнародних відносин. Характерним прикладом послідовного вживання цієї ідеї в теорії зовнішньої політики є діяльність професора університету штату Огайо (США) Джеймс Розенау. Серед безлічі розрізнених чинників, що впливають на зовнішню політику, Д. Розенау виділяє п'ять груп змінних: індивідуальні чинники (якість, досвід, талант політичного діяча), ролеві фактори (чинники зовнішньої поведінки, обумовлені посадами політичних діячів), урядові чинники (що стосуються рамок функціонуючої урядової структури), суспільні змінні (основні цінності суспільства і т.п.), системні індикатори, або „зовнішні змінні”. Професор Ч. Л. Тейлор, організував спеціальну конференцію в 1978 р., присвячену розвитку теорії політичних індикаторів, за наслідками якої були опубліковані основні доповіді. В роботі П. Бекмана система індикаторів світової політики розглядається для дослідження поняття „могутності” („потужності”) держави, метою їх порівняльного розташовує. У вказаній роботі продовжені дослідження Р. Моргентау, До. Норра, О. Моргенштерна, що стосуються порівняння держав за системою індикаторів. Потужність держави по Бекману - це середнє арифметичне відсотка світової здобичі сталі досліджуваної держави і деякий! величини, що є твором індексу політичної стабільності і відсотка світового народонаселення. Макромоделі такого роду особливе характерні для робіт Мортона Каштана. Проблеми оптимальної поведінки (управління ідеології, що розглядаються в рамках, збереження державного „могутності мають зовнішню схожість із знаменитим „категоричним імперативом „І. Канта поступай так, щоб максима твого вчинку мислилася світовим законом.” М.1 Каплан „правила „ політичної поведінки формулює так:

1)дій так, щоб збільшити свій бойовий потенціал, але вступай в nepero-J злодії всякий раз, щоб уникнути війни вступай у війну, якщо без цього буде упущена можливість збільшити свій бойовий потенціал;

2)припиняй військові дії, якщо виникла загроза ліквідації основної національної дійової особи;

3)надай протидію будь-якої коаліції або дійовій особі, яка прагне оволодіти пануючим положенням в системі;

4)надай стримуюче вплив на дійових осіб, які керуються наднаціональними організаційними принципами;

5)дозволяй переможеним або стримуваним основним національним діючим особам приєднатися знов до системи як прийнятні ролеві партнери або ж допомагай збільшити свій статус якому-небудь з дійових осіб, доти неосновних. Поводься зі всіма дійовими особами як з прийнятними партнерами по ролі і т.п. На думку М. Каштана орієнтація учасника світової політики, що дотримується подібних правил, є оптимальній з погляду досягнення безпеці.Відома нам критика макромоделей світової політики, подібної моделі М. Каплана, зводиться по суті лише до неповноти систем, що використовуються. Так, за словами керівника Центру стратегічних і міжнародних досліджень Джоржтаунського університету М. Самюэлса помилка американських політичних діячів у визначенні поняття „національна безпека” полягає в тому, що вони, враховуючи військову потужність, ігнорують економічний аспект проблеми. Фахівці вказаного центру пропонують алгебраїчну модель „сукупної могутності держави у вигляді формули:

де Рр - „сукупна могутність держави”; C - критична маса (сума коефіцієнтів чисельності населення і площі території країни); Е - экономическая1 потужність; М- військова потужність; S - стратегічна мета держави; W- бажання населення слідувати існуючій в країні стратегії .

У свою чергу, фахівці з Міжамериканського військового коледжу пропонують ввести додатково показник Р - силу переконання політичного керівництва країни, його здатність повести за собою не тільки населення власної країни, але і союзників. Цей показник пропонується ввести як адитивна компоненти в другий співмножник приведеної формули.

1.2.5. Простір індикаторів в системі міжнародних відносин: основні задачі метатеорії

Як вже наголошувалося, погоджувати результати політичних досліджень, одержаних по різних системах індикаторів, можна таким чином. Системи індикаторів є різними підмножинами якоїсь однієї універсальної множини, яка, очевидно, нескінченна. Кожна задача аналізу ситуації з фіксованим набором індикаторів відповідає вибору деякої кінцевої (фінітного) підмножини з вказаного універсуму.

Залежно від виду цього універсуму виникають три основні моделі:

1. Як початковий універсум береться деяка кінцева множина, тоді кожній підсистемі показників відповідає деяка підмножина, що є носієм всіх функцій, визначених на цій підмножині (і рівних нулю зовні нього). Політичний об'єкт, що характеризується у вибраній системі показників, є фінітну функцією, визначеною на деякій підмножині універсуму. Разом з цією функцією можна розглядати її дискретне перетворення Фур’є. Можливий і подвійний підхід - кожній такій функції може бути поставлений у відповідність дискретний ряд Фурье, коефіцієнти якого рівні відповідним значенням функції.

2. Як початковий універсум вибирається відрізок прямою. Політичним об'єктам в цьому випадку відповідатимуть фінітні функції, визначені на відрізку. Виникаючі задачі можуть бути досліджені апаратом рядів Фур’є.

3. Нарешті, як початковий універсум береться вся речовинна. Властивості фінітних на прямій функцій можуть бути досліджені інтегралом Фур’є (або перетворенням Фур’є). В окремому випадку дискретного спектру виникають ряди по рахунковій множині взагалі кажучи нецілих показників - в цьому випадку застосуємо апарат майже періодичних функцій.

4.Більш окремі випадки, коли як початковий набір функцій допускаються лише лінійні (полілінійні) функції (функціонали) приводять до задач лінійної алгебри або тензорного аналізу.

Наукова основа пізнання соціально-економічної сфери полягає в аналізі Емпіричного матеріалу про поведінку цієї системи, що міститься в різних довідниках і світових класифікаторах. В різноманітті всіх видів відносин в соціальній сфері однією з якнайменше формалізованих є область політичних взаємостосунків між державами. Основний статистичний інструментарій - апарат аналізу чинника - запропонував разом з одиничними показниками (індикаторами) політичної поведінки держав на світовій арені розглядати більш вузьку сукупність нових показників - чинників, які є лінійною комбінацією початкових індикаторів. По суті справи, це означає розгляд нових показників, які проводяться у відповідність з підмножинами безлічі початкових показників. Такі нові показники, звані інакше суперпроблемами”, можуть і мають бути змістовним чином інтерпретовані. Як відзначає Я. Окунь, „той дослідник повинен перетворитися із статистика, що піклується в першу черга про правильність і точність обчислень, в експерта по проблемі, закономірності якої досліджувалися за допомогою аналізу” чинника.

Приведені міркування, з погляду математичного аналізу, означають лише те, що безліч одиничних показників може бути доповнене системою додаткових показників - „суперпроблем” - до групи з операцією) симетричної різниці. Політичний процес в цьому випадку описується відповідною функцією на групі суперпроблем, в яку, зрозуміло, як підмножини входять одноелементні підмножини - початковий набір політичних індикаторів. Серед таких функцій виділяються найпростіші (основні), які і є своєрідним будівельним матеріалом для опису довільних функцій на групі, тобто довільних політичних процесів в значенні введеної відповідності. В теорії груп як такі найпростіші функції розглядаються мультиплікативні функції на групі. Тим самим політичний процес може бути охарактеризований через властивості його розкладання за системою мультиплікативних функцій, інакше званих характерами групи.Однією з основних проблем при дослідженнях в соціальній сфері є проблема метрики, заходів близькості або „дистанцій” між об'єктами, що вивчаються. Різноманіття метрик, що використовуються, достатньо велике. Найпоширенішими є традиційна метрика Евкліда, а також метрики Мінковського і Хеммінга. Не маючи свій в розпорядженні серйозних аргументів на користь тієї або іншої метрики в конкретних дослідженнях, можна задатися метою виділити клас задач, на якому метрики Евкліда (в просторі L2) і Мінковського (Lр, , р > 0) будуть еквівалентні. Опис класу функцій, для якого справедлива еквівалентність вказаних метрик, представляється складною задачею.

Перейдемо до строгих визначень.

Визначення 1. Підмножина безліч індексів тригонометричної системи або системи Уолша називається λ(р) - множиною для деякого р > 0, якщо для деякого q > р > 0 і для будь-якого полінома R(x) із спектром в Е справедлива нерівність:

де постійна С > 0 не залежить від вибору полінома R(x).

Задача побудови класу функцій, на якому відповідні метрики еквівалентні, зводиться тим самим до вивчення структури послідовностей Е.

Визначення 2. Множина G називається групою, якщо для будь-яких двох елементів а, b цієї множини однозначно визначений третій елемент з цієї множини (тобто введена бінарна операція, що позначається, наприклад, ) з наступними властивостями:

1. - асоціативність.

2.В G є елемент О, званий нулем, такий, що для будь-якого елемента a із G справедлива рівність .

3.Для кожного елемента а існує протилежний (зворотний) елемент –а такий, що .

Групи, для яких для будь-кого а, в із G, називаються комутативними (або абелевими) групами. Нижче ми обмежимося розглядом лише абелевих груп. Прикладом некомутативної групи є, наприклад, група підстановок кінцевої множини, або група лінійних перетворень евклідова простору. Разом з групою підмножин кінцевої множини (індикаторів) ми розглянемо також кінцеву циклічну групу і групу дійсних чисел відрізка [0, 2л] з операцією складання по модулю 2тс.

Визначення 3. Симетричною різницею множин А і В (позначається ) називається така множина З, яке складається з елементів, що належать рівно одній з множин А і В. Легко бачити, що .

Визначення 4. Групи G і Н називаються ізоморфними, якщо існує таке взаємно однозначна відповідність φ між цими групами, яка зберігає групову операцію, тобто для будь-кого а, в G .

Визначення 5. Лінійним простором Е над полем з двох елементів (0, 1) називається безліч всіх n - рядків ( ) з покоординатним складанням модулю 2, де ( ) рівні 0 або 1.

Добре відомо, що група підмножин початкової кінцевої множини по операції симетричної різниці ізоморфна як група лінійному простору над полем з двох елементів. Відомо також, що в такому середовищі можна ввести другу операцію - множення - певним чином злагоджену з складанням, внаслідок чого подібна структура називається ще кінцевим полем, або полемо Галуа (на ім'я видатного французького математика Еваріста Галуа, що застосував їх властивості для вирішення питання про можливості розв’язання рівнянь алгебри в радикалах).

Основна ідея аналізу - апроксимація функцій довільної природи Битвами, що складаються з функцій більш простої природи, реалізується за рахунок вибору як такий основний набір системи мультиплікативних функцій.

Визначення 6. Характером групи З називають таку комплекснозначну функцію, яка задовольняє функціональному рівнянню: .

Як показано в роботі, групою характерів групи підмножин кінцевої множини по операції симетричної різниці є система функцій Уолша, про яку мова піде нижчим. В цій же роботі показано, що групою характерів безлічі дійсних чисел відрізка [0, 2π] з операцією складання по модулю 2к є класична система ортогональних функцій , а групою характерів кінцевої циклічної групи з n елементів є безліч коренів n-й ступінь з 1:

.

Саме ці групи ми і використовуємо надалі для характеристики політичного процесу як функції політичних індикаторів. При цьому континуальний випадок є природним узагальненням дискретного випадку в припущенні ухвалення концепції актуальної нескінченності для безлічі політичних індикаторів, що представляється самим загальним випадком. Крім того, з тригонометричною системою пов'язана, як вже наголошувалося, класична проблема представлення функції (суперечка Ейлера і Д'Аламбера). Нижче за показ? але, як метричні задачі для загальних тригонометричних рядів будуть зведені до вивчення рядів (насправді, кінцевих ідемпотентних поліномів) за системою характерів кінцевої циклічної групи.

На базі наступної допоміжної леми здійснено зведення метричних задач до вивчення властивостей ідемпотентних поліномів, які можна також потрактувати як тригонометричні суми або їх аналог за системою Уолша.Лема. Хай функція . Якщо, то існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , . Назад, якщо існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , для деякого ε > 0, то функція , при будь-кому р, 0 < р < 1 + е, причому при р = 0 твердження втрачає силу. Крім того, функція f(x) істотно обмежена на [0,2л] тоді і тільки тоді, коли існує постійна С>0 така, що для будь-якої вимірної множини , .

Доведення: Хай , , тоді:

.

і в одну сторону затвердження леми доведено.

Хай тепер для будь-якої вимірної множини Е, , і деякого . Хай , .

Якщо f(x) - дійснозначна функція, то:

.

Якщо f(x) = u(x)+iv(x), то:

; ;

і значить:

.

Нехай ,

k=1,2, ..., і хай , р>0, р<1+ε.

Тоді:

(1)

Легко бачити, що для k = 1,2....

,

тому:

(2)

Зіставляючи (1) і (2), маємо:

будь-яке , тобто , що і вимагалося довести.

Те, що твердження втрачає силу при р = 0, видно на прикладі функції .

Для цієї функції:

, але .

Нарешті, якщо , то:

то

Якщо ж, навпаки, функція f(x) така, що:

,

то:

звідки при всіх k=l, 2,.... Це можливо лише у випадку, коли починаючи з деяким k0, при всіх k>k0, тобто у разі, коли функція f(x) істотно обмежена, і лема повністю доведена.

Теорема 1. Якщо послідовність цілих чисел

то існує постійна , така, що для будь-кого натурального числа р і будь-якого полінома , де або ,

справедлива нерівність:

(3)

Назад, якщо для послідовності {nk} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р і для будь-якого полінома , або , , справедлива оцінка (3), то послідовність для любого .

Доведення: Доведемо спочатку необхідність.

Хай:

де

Утворюємо множину Е на відрізку [0,2π] таким чином:

Оцінимо інтеграл по множині Е від функції , де коефіцієнти ak підберемо пізніше:

тобто:

(4)

Хай тепер f(x) вибрана так, що:

(5)

Тоді в силу (4) маємо:

(6)

Оскільки , то існує постійна , така, що:

(7)

З другого боку, зважаючи на нерівність маємо в силу (6)

(8)

Зіставляючи (7) і (8), одержуємо:

і нерівність (З) доведена з постійною:

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {nk} справедлива нерівність (3) всякий раз, коли число р і поліном R(x) вибрано в відповідності з умовою теореми. Доведемо, що всяка функція:

належатиме і простору для будь-яке ρ (0,2 + ε), звідси і витікатиме, що послідовність при будь-яке .

Хай спочатку f(x) - поліном і хай:

(9)

З рівності (4) виходить, що:

(10)

Використовуючи (3) і (10), маємо:

(11)

Нерівність (11), будучи виконано для фіксованої функції

і всіх простих множин Е з достатньо дрібними становлячими інтервалами, очевидно, буде виконано для цієї ж функції і для будь-яких вимірних множин Е на відрізку [0,2л]. Але тоді нерівність

(11) буде виконано і для будь-яких функцій f(x) вигляду

і будь-яких вимірних множин Е. По лемі [*=1 для будь-яких , і теорема 1 повністю доведена.

Теорема 2. Хай , ε>0 за системою Уолша, тоді існує постійна С>0, така, що для будь-кого натурального р = 2n і будь-якого полінома:

справедлива нерівність:

(12)

Назад, якщо для послідовності {nk} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р = 2n і будь-якого полінома:

справедлива оцінка (12), то послідовність для будь-кого ρ, .

Доведення. Доведемо спочатку необхідність.

Хай:

Утворюємо множину:

Хай далі:

Оцінимо , тоді:

(13)

Помітимо тепер, що на інтервалі цифри х в двійковому розкладанні до номера n співпадають з відповідними цифрами у числа , якщо не допускати в двійковому розкладанні нескінченних послідовностей одиниць.

Хай:

Тоді, як відомо:

якщо Тому:

і в силу (13):

(14)

Якщо у визначенні функції f(х) покласти:

то нерівності (13) і (14) звернуться в рівність.

Для такої функції маємо в силу (14) і умови теореми:

звідки:

або:

що і доводить необхідність теореми.

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {nk} справедлива нерівність (12) при будь-кому р=2n і поліномі:

або

Тоді для полінома:

і множини:

справедлива оцінка (14), тобто:

(15)

Через умову теореми права частина нерівності (15) не перевершує величини:

тобто:

(16)

Оцінка (16), будучи справедлива для простих множин Е з умовою , розповсюджується для фіксованого полінома f(х) і на довільні вимірювання множини , а, отже, і на довільні функції

з умовою . Через лему нерівність (16) тягне за собою

умова при всіх , тобто при

всіх .

Теорема повністю доведена.

Наступні два кількісні результати торкаються густини лакунарних послідовностей Уолша і розподілу значень іденпотентних поліномів (терезів лінійних кодів). Ці оцінки представляють як самостійний інтерес (перша з них значно усилює аналогічний результат А. Бонами так і можуть мати додаток в загальній математичній теорії кодування Л передачі інформації.Теорема 3. Хай Еn n-мірне лінійний простір над полем з двох елементів. - пряма сума двох екземплярів цього простору, яке ми потрактуємо так само, як безліч всіх пар (а, b), де а, b – елементи Еn.

Тоді безліч U всіх пар вигляду (а, а-1), де і символом а-1 позначений елемент, зворотний до елемента а в полі Еn має потужність 2n-1, лежить в лінійному просторі W2n потужності 22n. Іншими словами, множина U є щільним B2 (або (4)) множиною в тому значенні, що на ньому досягається верхня грань густини В3-последовательностей.

Доведення. Допустимо осоружне, тоді знайдуться такі 4 різний елемента а, b, c, d з U, що:

Остання система еквівалентна системі:

а + b = c + d, a-l + b-1 = с-1 + d-1.

що рівносильне:

а + b = c + d, ab = cd

яка, як неважко бачити, може мати не більше одного рішення (з точністю до перестановки). Дійсно, останнє твердження рівносильне тверждення про те, що рівняння х(х + k) = r має не більше двох різних розв’язків по х для х, k, r з Еn. Покажемо це. Хай є інше рішення у: у(у + k) =r.

Тоді , звідки , тобто , звідки або x = у, або у = х + k ( нагадаємо, що En - поле характеристики 2).Тим самим теорема 3 повністю доведена.

Справедлива

Теорема 4. Хай на En заданий ідемпотентний поліном Уолша:

Хай з En такі, що все rj, незалежні і , . Тоді:

де

Доказ. Без обмеження спільності можна вважати, що все {rj} утворюють стандартний базис в Еt (загальний випадок зводиться до цього лінійним перетворенням Et). Тоді на підпросторі Et, поліном R(x) запишеться у вигляді:

де dj, - цілі ненегативні числа, в сумі даючі s. Легко бачити, що шукана сума квадратів значень полінома R(x) на підпросторі Еt, рівна .

Оцінимо знизу суму . Оскільки значення полінома R(x) на векторах Et

рівні άs, те, як вже наголошувалося, ідемпотентному поліному R(x) на підпросторі Е, відповідатиме двійковий код з 2t стовпців і із загальним числом кодових слів 2t, причому базисні кодові слова складаються з ,одиниць

і мінус одиниць в мультиплікативному записі двійкового коду.

Ми маємо у результаті г випадкових величин, розподілених по одному і тому ж

закону - вони приймають два значення з ймовірностями відповідно і мають ентропію Нά кожна. Крім того, ці випадкові величини утворюють багатовимірний розподіл з вірогідністю По властивості субадитивності ентропії маємо:

Застосовуючи відому нерівність Юнга:

маємо:

або:

або:

Остаточно:

що і доводить теорему 4.

Структура виняткової безлічі індексів, які забезпечують >квв валентність метрик Мінковського, тісно примикає до задач побудови і вивчення лінійних кодів.

Під кріптологією в широкому значенні розуміється мистецтво проектуванні і злому секретних систем, при цьому проектування називається криптографією а зламуюча частина - кріптоаналізом. При цьому треба мати у вигляді, що є багато кодів, жодним чином не пов'язаних з проблемою секретності, - це код ASCII для перетворення символів алфавіту в двійкову форму для з'явившися лінія в ЕОМ, а також універсальний промисловий код (штриховий) з ряд чорних вертикальних ліній, що містять інформацію про вироби. Історично перший код, призначений для передачі повідомлень, пов'язаний з ім'ям винахідника телеграфного апарату Семюеля Морзе і відомий всім як азбука Морзе. Код Морзе заснований на короткочасних (крапка) і тривалих (тире) їм пульсах струму; інший код (Бодо) для кодування використовує два елементарні сигнали - імпульс і паузу. Зручно, відволікаючись від фізичної природи сигналів, позначати два елементарні сигнали символами 0 і 1, тоді кодові слів представляються послідовністю нулів і одиниць.При передачі повідомлення в умовах перешкод основна помилка пов'язана з тим, чий ряд символів може бути переданий неправильно, тобто Про замість і навпаки. Для того, щоб можна було однозначно декодувати повідомлення, слід накласти додаткові умови на сам спосіб кодування повідомлень, тобто на код. Є слова а1, а2,..., аn повинні бути декодовані як b1, b2 ..., bn, але передане слів декодувалося в деяке слово b, не співпадаюче ні з одним з bi то приписати слову b „найближче” із слів b1, b2..., bn. Основна задача, виникаюча на цьому шляху така: який повинен бути код з n символів, щоб він правильно декодував передане слово, при умові, якщо вчинено не більш t - помилок в передачі? Легко показати, що, якщо слова коду відстоять один від одного на віддаль Хемінга, не менше ніж 2t + 1, то така задача розв'язується однозначно по кодуванню в найближче слово. Дійсно, якщо передане слово відстоїть від двох різних кодових слів на відстані, не перевершуючі t( тобто при передачі його зроблено не більш t помилок по відношенню до цих двох слів), то по формулі трикутника самі ці кодові слова відстоять один від одного на відстань, що не перевершує 2t, в суперечності з початковою властивістю коду мати всі свої слова на відстані не меншому 2t + 1 один від одного. Таким чином, для упевненого декодування в умовах перешкод потрібно уміти будувати коди з великою кодовою відстанню, яка визначається як мінімум попарних відстаней слів коду в метриці Хемінга. Оскільки безліч всіх слів довжини п цією властивістю, очевидно, не володіє, слід виділяти деякі підмножини з вказаної множини. Звичайно безліч всіх послідовностей з 0 і 1 довжини n вважають лінійним простором над полем з двох елементів з метрикою (нормою) Хемінга; число одиниць в слові називають нормою цього слова. Серед таких підмножин особливе місце займають коди, які замкнуті по відношенню до операції суми, так звані лінійні коди. Лінійний (n, k) - код є лінійний підпростір розмірності до в множині всі 0-1 рядків довжини п, тобто в просторі Еn. При цьому матриця з до базисних векторів коду називається матрицею коду, що породжує, а матриця з n-k базисних векторів подвійного коду (тобто ортогонального доповнення до En) називається перевірочною матрицею. Природно вважати до символів (n, k) - коду основними, а інші n-k- перевірочними, необхідними лише для визначення правильності передаючого повідомлення. Величинами називається швидкістю передачі.

Як багато може бути кодових слів в коді довжини n, у якого кодова відстань d, тобто яка величина А(n,d)? Відомі межі Хемінга, Джонсона, оцінюючі величину А(n,d). Так, межа Хемінга встановлює:

де

(17)

Ця межа ще називається межею сферичної упаковки, оскільки рівність (17) Досягається у тому випадку, коли непересічні кулі радіусу t з центрами кодових словах цілком заповнюють всю безліч n - буквенних слів. Такі коди ще називаються вчиненими або щільно упакованими.

Межа Джонсона А(n,d) 2d/(2d - n), d> n/2 може бути використана для оцінки потужності коду, що складається із слів ваги Лисиць кодовою відстанню d. га оцінка А(n,k,d) d/(2n2+dn-2nk), за умови, що знаменник дробу позитивний, 2n2+dn-2nk>0. Оцінки типу межі Джонсона неодноразово уточнювалися різними авторами, оскільки остаточного результату до теперішнього часу не одержано. Такі оцінки мають значення при побудові кодів з сильними коректуючими властивостями, оскільки указують межі можливого. Наступна оцінка уточняє оцінку Джонсона.

Теорема 5. Хай задані t слів довжини s ваги L= s(l-ά)/2, де ά (0,1). Нехай

D={di}, безліч попарних відстаней між кодовими словами. Хай середнє арифметичне всіх попарних відстаней між перерахованими t словами. Тоді:

Доведення.

Хай в матриці коду hi, - число одиниць в і-ому стовпці.

Тоді

і, отже

Якщо

Застосуємо тепер ці міркування до нового коду, який виходить з виходящого попарним складанням різних стовпців. Тоді рядки нового коли матимуть вагу L(s - L), попарні відстані нового коду будуть di(s - di). Застосовуючи аналогічні міркування, маємо:

Тоді:

і остаточно:

Якщо , то:

Приведений математичний апарат виявляє собою дієвий інструментарій для дослідження зовнішньополітичних процесів, що розглядаються як фінітних функцій на просторі індикаторів.