Основи роботи з системою комп'ютерної алгебри MathCAD
Зміст
Вступ3
Елементи головного вікна Mathcad'а3
Короткий огляд можливостей Mathcad5
Обчислення математичних виразів з використанням вбудованих у Mathcad функцій та операторів5
Визначення власних змінних та функцій6
Обчислення функцій та виразів у заданому діапазоні6
Побудова графіків функцій6
Візуалізація даних у дво- або тривимірному просторі7
Обчислення сум та інтегралів7
Обчислення з матрицями8
Розв'язування рівнянь чисельно8
Виконання операцій в символьній формі8
Аналіз даних та їх підгонка за допомогою стандартних вбудованих функцій8
Процедури з використанням операторів програмування9
Утворення анімації для візуалізації результатів у часі10
Основні процедури системи Mathcad10
Робота з областями Mathcad'а10
Введення математичних виразів та тексту11
Визначення змінних12
Визначення функцій12
Побудова математичних виразів13
Редагування виразів14
Області визначення змінних15
Визначення векторів і матриць15
Утворення графіків18
Побудова графіка функції18
Побудова графіка елементів вектора19
Побудова графіків функцій від елементів вектора20
Побудова графіків двох або більшої кількості функцій21
Форматування математичних виразів та тексту21
Форматування результатів22
Використання одиниць вимірювання23
Де одержати додаткову допомогу23
Підкази по інструментам24
Центр ресурсів та швидкі аркуші24
Інтерактивна допомога24
Контекстно-залежна допомога24
WWW-сервер фірми MathSoft25
Інші ресурси25
Завдання для самостійної роботи26
Література27
Зміст27
Вступ
Система комп'ютерної алгебри Mathcad була розроблена у 1986 р. фірмою MathSoft, Inc. (США). Зараз фірма випустила вже сьому версію свого продукту. Mathcad працює у середовищі операційної системи Windows і є унікальним, потужним засобом роботи з рівняннями, числами, графіками та текстом. При роботі з Mathcad'ом всі математичні вирази мають природний, звичайний вигляд, такий, начебто ви працюєте з ними, використовуючи аркуш паперу та олівець. Після запуску Mathcad на екрані з'являється чистий робочий аркуш (документ), у будь-яке місце якого ви можете вводити математичні вирази, текст, графіки. Ще раз підкреслимо, що у Mathcad'і використовується не штучні мови програмування, а мова математики. Наприклад, у мовах програмування розв'язок квадратного рівняння має вигляд подібний цьому: x=(-B+SQRT(B2-4AC))/(2A). В електронних таблицях розв'язок рівняння, що вводиться у клітинку, виглядає так: +(-B1+SQRT(B1B1-4A1C1))/(2A1). У Mathcad'і згаданий розв'язок має звичайний вигляд, такий саме, як і в математичних книгах:
.
Єдина відміна полягає у тому, що рівняння та графіки Mathcad — живі. Змініть будь-які дані, змінні або рівняння і Mathcad зразу переобчислить математичні вирази та перерисує графіки.
З Mathcad'ом ви можете розв'язувати широкий спектр технічних задач — від найпростіших до дуже складних — чисельно або символьно. Ви можете також візуалізувати функції та дані за допомогою дво- та тривимірних графіків. Ви можете навіть ілюструвати свою роботу графікою з інших застосувань Windows.
Використовуючи електронні книги Mathcad'а ви можете отримати значну кількість «живого» довідкового та реферативного матеріалу, який може бути перенесений у ваш робочий аркуш.
Використовуючи Mathcad, ви можете формулювати ідеї, аналізувати дані, будувати моделі, обирати найкращі розв'язки, оформляти результати у документі, звіті тощо.
Якщо ваш комп'ютер приєднаний до мережі, ви можете працювати над проблемами у Mathcad'і разом із колегами та іншими професіоналами.
Елементи головного вікна Mathcad'а
Після запуску Mathcad'а на екрані з'являється головне вікно системи, елементи якого ми розглянемо більш докладно.
•Головне меню
надає можливості доступу до математичних, графічних, символьних команд і до команд редагування та управління вашими робочими аркушами.
Через меню «Help» можна дістатися до всіх електронних книг Mathcad'а, встановлених вами. Дві електронні книги — «Desktop Reference» та «Book Sampler» — встановлюються разом із Mathcad'ом. Книга «Desktop Reference» містить сотні корисних формул та фізичних констант, у той час як у книзі «Book Sampler» наводяться численні приклади розв'язання задач із математики, механіки, фізики, статистики тощо.
•Математична панель
розташована нижче головного меню і надає можливість швидкого введення математичних операторів. Якщо ви утримуєте деякий час покажчик миші на одній із кнопок вказаної панелі, то побачите короткий підказ про призначення цієї кнопки:
— Арифметична палітра
— Палітра відношень та бульових функцій
— Палітра графіків
— Палітра векторів та матриць
— Палітра математичного аналізу
— Палітра програмування
— Палітра грецьких літер
— Палітра символічних операційПри натисканні вказаних кнопок ви одержите палітри для вибору конкретних операторів. При натисканні на символ відповідного оператора він переноситься у ваш робочий аркуш.
•Панель інструментів
надає можливість швидкого виконання багатьох загальних процедур таких, як відкриття нового або існуючого робочого аркушу, його збереження та друкування, редагування, перевірка правопису і т. і.
Дві корисних кнопки з вказаної панелі:
—Запускає «Resource Center» — центр ресурсів, який містить зокрема «QuickSheets» — збірник шаблонів робочих аркушів Mathcad, призначених для розв'язування загальних математичних задач.
—Запускає довідку.
•Панель форматування
дозволяє вам вибирати шрифти для тексту та математичних виразів або стилів.
•Панель управління навігації в центрі ресурсів
з'являється завжди, коли відкривається електронна книга. Ви можете знайти відповідний розділ або тему, що цікавлять вас, та переміститися у будь-яке місце книги.
•Рядок повідомлень
знизу головного вікна Mathcad'а надає підкази про стан системи, результати виконаної операції, нагадує про сполучення клавіш тощо. Тут також міститься повідомлення про стан обчислень у вашому робочому аркуші — «auto» — це означає, що Mathcad автоматично переобчислює всі вирази при зміні даних. Під час обчислень тут з'являється повідомлення «Wait» («Чекайте»), при цьому курсор приймає форму лампочки, що горить. Нарешті, у рядку повідомлень міститься інформація про те, чи натиснуті клавіші «Caps Lock» та «Num Lock», а також номер сторінки вашого робочого аркуша.
Короткий огляд можливостей Mathcad
Обчислення математичних виразів з використанням вбудованих у Mathcad функцій та операторів
Покажчиком миші вкажіть місце на вашому робочому аркуші, куди ви будете вводити математичний вираз, та натисніть ліву кнопку миші. З'явиться червоний курсор-хрест — . Вкажіть мишею на кнопку — «Арифметична палітра» — математичної панелі та натисніть знову-таки ліву кнопку миші. З'явиться наступна палітра.
З цієї палітри можна вибрати найпростіші функції та оператори. Для вибору будь-якої вбудованої функції чи оператора виконайте команду «Function» в меню «Insert», після чого з'явиться список, що прокручується, з якого виберіть потрібне.
Якщо ви хочете виводити іншу кількість десяткових цифр у результаті обчислень, виконайте команду «Number» в меню «Format» та змініть число у полі «Displayed Precision» діалогового вікна, що з'являється при цьому.
Візьміть корінь квадратний та покажчик степені з арифметичної палітри та натисніть клавішу «», щоб одержати відповідь. Для введення чотирьох основних арифметичних дій використовуйте клавіші «+», «», «», та «/» безпосередньо з клавіатури.
Ще декілька прикладів.
.
Функції та оператори Mathcad'а виконують дії з комплексними числами:
та фізичними одиницями:
.
Щоб побачити вбудовані одиниці, виконайте команду «Units» в меню «Insert».
Визначення власних змінних та функцій
Символ визначення «:» знаходиться в арифметичній палітрі (кнопка ) математичної панелі. Він також може бути введений натисканням клавіші з двокрапкою «:» на клавіатурі.
Коли ви зміните визначення якоїсь величини, Mathcad зразу переобчислить всі вирази, які залежать від неї.
Обчислення функцій та виразів у заданому діапазоні
Задайте діапазон зміни величини:
z:0,.5..2.
Оператор діапазону «..» знаходиться в арифметичній палітрі (кнопка ) математичної панелі. Він також може бути введений натисканням клавіші з крапкою та комою «;» на клавіатурі. Щоб утворити таблицю, просто наберіть на клавіатурі z, f(z) і т. д. Змініть 2 у визначенні z на 4, щоб збільшити таблицю.
zf(z)exp(f(z))z
00.250
0.50.2060.615
10.121.128
1.50.0151.523
2-0.0831.84
Побудова графіків функцій
Задайте діапазон зміни величини:
x:0,.1..25
Для побудови системи координат використовуйте кнопку — «X-Y Plot» — палітри графіків (кнопка ) математичної панелі. Можна також натиснути клавішу «@» або Ctrl+2 на клавіатурі. Потім введіть у мітки-заповнювачі на осях OX та OY необхідні вирази. Можна вводити декілька виразів, відокремлюючи їх комами.
Візуалізація даних у дво- або тривимірному просторі
Приклад, наведений нижче, ілюструє, як Mathcad може автоматично інтерполювати 3-вимірний точковий графік деякою поверхнею. Один масив використаний на обох графіках. Графік ліворуч утворений з використанням команди «Graph/3D Scatter Plot» в меню «Insert». Графік праворуч утворений з використанням команди «Graph/Surface Plot» того ж меню. Ви можете використовувати також відповідні кнопки палітри графіків (кнопка ) математичної панелі.
Обчислення сум та інтегралівЗа допомогою курсора-хреста вкажіть місце на вашому робочому аркуші, куди ви будете вводити математичний вираз. Вкажіть мишею на кнопку — «Палітра математичного аналізу» — математичної панелі та натисніть ліву кнопку миші. З'явиться відповідна палітра. Введіть у мітки-заповнювачі потрібні дані та натисніть клавішу «=» для одержання результату обчислень.
Обчислення з матрицями
Вкажіть мишею на кнопку — «Палітра векторів та матриць» — математичної панелі та натисніть ліву кнопку миші. З'явиться відповідна палітра. Натисніть на ліву верхню кнопку цієї панелі, виберіть число рядків і стовпців та введіть у мітки-заповнювачі потрібні дані.
Можна також вибрати команду «Matrix» в меню «Insert».
Натисніть клавішу «=» для одержання результату обчислень.
.
Щоб обчислити обернену матрицю, наберіть на клавіатурі A^-1=
.
Щоб знайти визначник матриці, наберіть на клавіатурі «|» або натисніть відповідну кнопку на палітрі векторів та матриць.
|A|=326.
Розв'язування рівнянь чисельно
Задайте початкове наближення для кореня , а потім запишіть
і Mathcad знайде корінь (1.621).
Виконання операцій в символьній формі
Факторизація виразу (команда «Factor» в меню «Symbolics») дає .
Обчислення інтеграла (команда «Simplify» в меню «Symbolics») дає .
Рівняння має розв'язки .
Ви можете виконувати операції в символьній формі, вказуючи вираз та вибираючи відповідні команди в меню «Symbolics». Там ви знайдете команди спрощення, розкладання на множники, факторизації, диференціювання, інтегрування, розв'язування рівнянь, операцій з матрицями і т. і.
Аналіз даних та їх підгонка за допомогою стандартних вбудованих функцій
Розглянемо приклад.
Смуга пропускання: b:=10 z:=ksmooth(t,sp500,b)
Вище наведено результат дії функції згладжування «ksmooth» системи Mathcad, застосованої до даних, що описуються рядом «S&P500». Ви можете спробувати задати різні значення (150) смуги пропускання «b» згладжуючого вікна.
Mathcad має інші оператори згладжування, підгонки, функцій регресії, а також ймовірносних розподілів: нормального, Стьюдента, Пуассона, F, біноміального та багато інших.
Процедури з використанням операторів програмування
Вкажіть мишею на кнопку — «Палітра програмування» — математичної панелі та натисніть ліву кнопку миші. З'явиться така палітра.
Використовуйте оператори наведеної палітри для побудови у Mathcad'і процедур із застосуванням стандартних управляючих структур: циклів із «for» та «while», розгалуження, рекурсії та інших. Програми записуються безпосередньо у ваш робочий аркуш. Вони можуть оперувати з числами, векторами та матрицями.
Наведена вище програма реалізує метод Ньютона для знаходження кореня степеня «n» із числа «a» з заданою точністю «».
Утворення анімації для візуалізації результатів у часі
Будь-яка частина робочого аркуша у Mathcad'і може бути анімована за допомогою команди «Animate» в меню «Wiew». Після появи діалогового вікна «Animate» виділіть мишею область у вашому робочому аркуші, задайте параметри анімації та збережіть відповідний файл. Виділена область повинна містити системну змінну FRAME (див. малюнок нижче), за допомогою якої і здійснюється анімація. Mathcad дозволяє програвати та зберігати анімацію, як стандартний Windows AVI-файл.
Основні процедури системи Mathcad
Математичний вираз у Mathcad'і є дійсно чудовим об'єктом: це — картинка-зображення на вашому екрані (або на папері, якщо ви друкуєте ваш робочий аркуш) і одночасно це — множина інструкцій для обчислення чогось. Ось чому редактор рівнянь Mathcad'а є унікальною сумішшю текстового процесора та генератора кодів, які покликані вірно представляти та правильно обчислювати вирази. У цьому розділі ми зосередимося на основних процедурах введення, побудови, редагування математичних виразів, на роботі з текстами та графіками у робочих аркушах Mathcad'а і т. і.
Робота з областями Mathcad'а
Кожне рівняння, текстовий абзац або графік у робочому аркуші Mathcad'а є окремим об'єктом, що зветься «область». Ви можете побачити ці області, вказавши покажчиком миші у порожньому місці екрана, а потім натиснувши її ліву кнопку та потягнувши у якійсь бік через рівняння, текст та графіки. Області, що зустрінуться на шляху будуть оточені прямокутниками зі сторонами з пунктирними лініями. У наведеному нижче прикладі у першому рядку знаходиться текстова область, у другому — математична:
Після того як ви селектували (вибрали) область за допомогою вказаної процедури, ви можете перемістити її у будь-яке місце вашого робочого аркуша. Щоб перемістити область:
•Виділіть області так, щоб вони були оточені пунктирними прямокутниками.
•Перемістіть покажчик миші у виділену область. Зауважимо, що він набуде вигляд великого чорного хреста.
•Натисніть ліву кнопку миші та перетягніть виділені області у нове місце вашого робочого аркуша.•Після виконання вказаних дій відпустіть кнопку миші та натисніть її у порожньому місці аркуша, щоб деселектувати області.
Ви також можете побачити області робочого аркуша, вибираючи команду «Regions» в меню «View». Світлі області будуть ясно виділятися на темному фоні.
Важлива особливість Mathcad'а полягає в тому, що він читає ваш документ зліва направо і зверху вниз саме так, як ми читаємо книгу. У зв'язку з цим будьте обережні при перенесенні або видаленні областей! Наприклад, у математичній області
y:10
неможна перенести далі визначення y:10, оскільки Mathcad не зможе обчислити наступний вираз.
Ви також легко можете видалити селектовані області. Для цього треба виконати команду «Cut» в меню «Edit», або натиснути одноіменну кнопку панелі редагування. При виконанні вказаної дії об'єкт, який видаляється, приміщується в буфер і може бути скопійований звідти у будь-яке місце робочого аркуша, вказане курсором, за допомогою команди «Paste» в меню «Edit». Це ж саме можна зробити, натиснувши одноіменну кнопку панелі редагування. Описані процедури корисні при випадковому видаленні якоїсь області.
Введення математичних виразів та тексту
Вкажіть мишею на порожнє місце робочого аркуша та наберіть на клавіатурі: 1+. Ви побачите на екрані: .
Після того як ви наберете «+», ви побачите маленький чорний квадрат, оточений синім прямокутником. У Mathcad'і цей квадрат зветься міткою-заповнювачем. Якщо ви продовжите набирання на клавіатурі, то все, що вводите, буде відображатися на місці цієї мітки. Наприклад, наберіть 2, а потім натисніть клавішу з символом рівності «», щоб побачити результат.
Якщо ви вкажете покажчиком миші поза областю, що редагується, то побачите: .
Зрозуміло, що можна проводити більш складні обчислення. Для введення основних операторів користуйтеся клавішами «+», «», «», «/», «^» та/або кнопками арифметичної палітри, яку можна викликати, натиснувши одноіменну кнопку математичної панелі.
Зауважимо ще раз, що всі вирази у робочому аркуші Mathcad'а мають звичайний математичний вигляд.
У будь-яке місце вашого робочого аркуша можна вставляти будь-який текст. Для цього встановіть курсор-хрест у потрібне місце та наберіть на клавіатурі символ подвійних лапок «"». Після цього буде утворена текстова область, у якій ви можете друкувати що завгодно так, як у звичайному текстовому процесорі. Зауважимо, що при збільшенні текстової області збільшується також і чорний прямокутник, що оточує її. Після закінчення введення тексту вкажіть покажчиком миші поза цим прямокутником, він зникне і ви можете продовжити введення математичних виразів.
Визначення змінних
Часто буває необхідно визначити змінну, яка буде використовуватися у послідовних обчисленнях, а також присвоїти (надати) їй певне значення. Наприклад, встановіть курсор-хрест у вільне місце робочого аркуша та наберіть на клавіатурі: age:23 . Ви побачите: .
Зауважимо, що коли ви набираєте на клавіатурі символ двокрапки «:» (або, еквівалентно, натискаєте кнопку на арифметичній палітрі), Mathcad виводить на екран символ «:». Цей символ використовується у Mathcad'і як оператор присвоювання. Щоб побачити, чому дорівнює змінна «age», наберіть на клавіатурі її ім'я, а потім знак рівності: age .
Якщо ви хочете присвоїти інше значення змінній «age», встановіть курсор праворуч від старого значення (у прикладі — «23»), клавішею «Backspace» () видаліть його та введіть нове значення.
Тепер ви можете використовувати визначену змінну у виразах Mathcad'а:
age:23
Або використовувати змінну для визначення іншої змінної:
Визначення функцій
Синтаксис, який використовується для визначення функцій у Mathcad'і такий саме, як при визначенні змінної. Наприклад, встановіть курсор-хрест у вільне місце робочого аркуша та наберіть на клавіатурі: f(x):x^2 . Ви побачите: .
Зауважимо, що оператор присвоювання для визначення функції у Mathcad'і такий саме, як оператор присвоювання для змінної.
Після визначення функції ви можете використати це різними способами:
f(10)=100 — Знайти значення функції у точці.
x:=3 f(x)=9 — Визначити значення аргументу та знайти відповідне значення функції f(x).
Визначити область зміни аргументу та одержати таблицю зміни функції f(x):
a:=0..3f(a)
1
2
9
g(y):f(y)+6 — Визначити іншу функцію через f(x): .
Ви можете вводити функції з клавіатури, з палітри математичних операторів, а також використовувати сотні вбудованих функцій у наступний спосіб. Щоб побачити прокручуваний список вбудованих функцій з їх коротким описом, виконайте команду «Function» в меню «Insert», або натисніть одноіменну кнопку на панелі інструментів.
З'явиться панель діалогу «Insert Function», що наведена далі, за допомогою якої можна ввести будь-яку вбудовану функцію у ваш робочий аркуш.
Ви можете також набрати ім'я будь-якої вбудованої функції безпосередньо з клавіатури.Побудова математичних виразів
Вкажіть курсором-хрестом на порожнє місце вашого робочого аркуша та введіть наступне (зверніть особливу увагу на те, що діється, коли ви натискаєте клавішу «пропуск»):
f(x):x+6[пропуск](x^3[пропуск]-1)
Ви побачите: .
Коли ви натиснули «пропуск» перший раз, був селектований вираз , і таким чином, коли ви натиснули потім знак множення, то його дія розповсюдилась на весь згаданий вираз. Якщо б ви не натиснули «пропуск» перший раз, то мали б , що звичайно суттєво відрізняється від попереднього виразу.
Коли ви натиснули «пропуск» другий раз, був селектований вираз . Отже, коли ви набрали -1, то дія віднімання була розповсюджена на весь вираз . Порівняйте, що ви одержите, коли наберете:
f(x):x+6(x^3-1)
Скоріш за все це буде виглядати так: .
Тепер, щоб утворити вираз наберіть на клавіатурі:
x^2[пропуск]Вираз буде селектований.
+3[пропуск]Вираз буде селектований.
/5[Enter]
Спробуйте ввести той саме вираз тільки без натискання клавіші [пропуск] після набору +3 . Ви будете мати: .
Наберіть тепер:
x^1/t^2[пропуск][пропуск][пропуск]/3 .
Ви будете мати: .
Редагування виразів
Розуміння структури виразів у Mathcad'і допоможе вам успішно редагувати їх. Введіть вираз, що записаний нижче, та спробуйте зробити за допомогою миші наступні дії:
.
•Вкажіть на знак «плюс». Зауважте, що обидва вирази, що додаються, беруться у синій прямокутник селектування.
•Вкажіть на символ квадратного кореня. Корінь та все, що стоїть під ним, селектуються.
•Вкажіть на символ ділення. Весь дріб селектуються.
•Вкажіть на знак «мінус». Обидва вирази, що віднімаються, селектуються.
•Вкажіть на знак «двокрапка-дорівнює». Селектується весь вираз.
Тепер повчимося іншій техніці. Вкажіть на цифру «5» та почніть натискати клавішу [пропуск], або клавішу «», щоб селектувати кожного разу більшу частину виразу. Натисніть клавішу «», щоб деселектувати її.
Селектування частин виразу у подібний спосіб дозволяє додавати або видаляти їх:
•Якщо ви хочете замінити «5» на «6», вкажіть праворуч від цифри «5» (ви побачите синій прямокутник селектування), натисніть клавішу «Backspace» () та наберіть 6.
•Якщо ви хочете замінити знак ділення на знак множення, вкажіть на знак ділення, натисніть клавішу «Backspace» () та наберіть .
•Якщо ви хочете взяти корінь квадратний від усієї правої частини виразу, вкажіть на знак «мінус» та натисніть клавішу оберненої похилої «\» (це — «гаряча клавіша» для кореня квадратного).
•Якщо ви хочете помножити всю праву частину виразу на «3», селектуйте її, потім натисніть клавішу «Insert», та наберіть 3. Зауважте, що синій прямокутник селектування зміниться на червоний, коли ви натиснете клавішу «Insert».
Якщо редагуючи вираз, ви зробили помилку і не знаєте, як її виправити, то видаліть вираз та почніть його введення знову, або виконайте команду «Undo» в меню «Edit»; або, якщо ви нещодавно зберегли ваш робочий аркуш, закрийте його без збереження та знову відкрийте його.
Області визначення змінних
Задавати області визначення змінних у Mathcad'і є обов'язковим. Щоб задати, наприклад, область визначення змінної x від 0 до 10, просто вкажіть позицію курсора-хреста у вільному місці та наберіть на клавіатурі x:0;10 .
Вкажіть покажчиком миші в іншому місці і ви побачите: .
Зауважте, що коли ви натиснете клавішу точки з комою «;», то на екрані побачите дві точки «..», а за ними мітку-заповнювач. Ці дві точки є оператором області визначення змінної у Mathcad'і. По-іншому ввести цей оператор можна, натиснувши кнопку — «Range Variable» арифметичної палітри.
Тепер ви можете використовувати величину з визначеною областю змінювання для визначення інших величин. Наприклад, задайте область визначення для x, а потім визначте функцію f(x), як показано нижче:
.
Якщо ви хочете побудувати таблиці для x та f(x), просто наберіть знак «=» після відповідної величини, після чого ви побачите:
xf(x)
052
131.5
215
32.5
46
510.5
Якщо ви хочете, щоб приріст в області змінювання був відмінним від «1» (за умовчанням), введіть наступну величину після першої. Наприклад, якщо ви хочете, щоб величина «x» змінювалась від «1» до «10» з приростом «0.1», наберіть: x:1,1.1;10 . Ви побачите: .
Зауважте, що перед другою величиною в області визначення треба набирати кому «,», а після неї — крапку з комою «;».
Визначення векторів і матриць
До сих пір ми мали справу з окремими числами, або скалярами. Mathcad може оперувати також і з масивами чисел такими, як вектори та матриці. Щоб утворити вектор або матрицю у Mathcad'і, треба спочатку задати розмірність масиву, а потім заповнити потрібними значеннями мітки шаблону, що з'являється. Наприклад, щоб утворити вектор «v», що вказаний нижче, встановіть курсор-хрест у вільне місце та виконайте такі дії:
•Наберіть v: .•Виконайте команду «Matrix» в меню «Insert» (або натисніть кнопку — «Matrix or Vector» на палітрі векторів та матриць).
•Задайте потрібне число рядків та стовпців. Наприклад, вектор, наведений нижче, має 3 рядка та 1 стовпець.
•Натисніть кнопку «Insert».
•Заповніть мітки потрібними величинами. Натискайте клавішу «Tab» для переміщення до інших міток-заповнювачів.
.
Щоб дістатися до окремих елементів вектора, використовуйте оператор нижнього індексу, який утворюється набиранням лівої квадратної дужки «[», або при використанні кнопки арифметичної палітри.
Перший елемент має індекс 0: v0=3.3 ( v[0= ).
Наступний елемент має індекс 1: v1=1.2 ( v[1= ).
Останній елемент має індекс 2: v2=8 (v[2= ).
Для зручності ви можете визначити індекс як змінну з певною областю значень, щоб дістатись всіх елементів вектора одразу (набирайте на клавіатурі i:0;2 та v[i):
i:=0..2vi
3.3
-1.2
8
Важливо запам'ятати, що індекс вектора у Mathcad'і завжди пробігає цілі значення, починаючи з «0». Зауважимо також, що у разі, коли ви не визначили якісь елементи вектора, то вони набувають значення «0». Наприклад, наберіть послідовно на клавіатурі: i:1;4 потім vrong[i:1 і, нарешті, vrong=. Ви побачите на екрані:
i:=1..4vrongi:=10
1
vrong=1
1
1
Ви могли очікувати, що вектор «wrong» повинен мати 4 елементи (1 й, 2 й, 3 й та 4 й). Але він має 5 елементів у силу сказаного вище і його перший елемент (з індексом «0») дорівнює «0».
Можна використовувати елементи вектора, як аргументи функції. Наприклад:
Тепер визначимо вектор v (див. вище) та одержимо таблицю функції f(v):
i:=0..2f(vi)
1.11
1.098
1.131
Можна також використовувати вектор, як аргумент функції. Наприклад, визначте функцію f(x), набираючи на клавіатурі f(x):[Ctrl]4x (або використовуючи кнопку на палітрі векторів та матриць). На екрані ви побачите:
.
Для вектора v, який був визначений раніше, будемо мати:
.
Більшість векторних та матричних операторів ви можете знайти в палітрі векторів та матриць. Наведемо деякі з них:
ОпераціяКлавішіКнопка палітриРезультат
Скалярний добуток[Shift]8 vw
Векторний добуток[Ctrl]8 vw
Визначник| |M|
Колонка[Ctrl]6 M
Mathcad має широкий спектр вбудованих функцій для роботи з векторами та матрицями. Нижче наведено декілька прикладів з використанням матриці «M»:
ДіяПриклад
Число колонокcols(M)=3
Число рядківrows(M)=3
Найбільшій елемент матриціmax(M)=9
Власні вектори матриці
Утворення графіків
Щоб утворити графік функції у прямокутній (декартовій) системі координат, встановіть курсор-хрест у вільне місце вашого робочого аркуша і натисніть клавішу «@», або виберіть команду «X-Y Plot» в меню «Insert/Graph», або натисніть кнопку на палітрі графіків.
Ви побачите на екрані великий прямокутник (систему координат) з трьома мітками-заповнювачами на кожній осі (це — шаблон графіка). Не турбуйтеся, якщо ви одержите повідомлення про помилку «missing operand» (пропущений операнд), прикріплену до графіка; Mathcad просто чекає, коли ви щось введете, щоб будувати графік! Про те що вводити, мова піде далі.
Побудова графіка функції
Для побудови графіка звичайної функції зробіть наступні дії.
•Визначте функцію однієї змінної, графік якої ви хочете будувати. Наприклад, побудуємо графік синуса:
f(x):=sin(x) (наберіть на клавіатурі f(x):sin(x)).
•Визначте незалежну змінну для горизонтальної осі. Наприклад:
x:=1..10 (наберіть на клавіатурі x:0;10).
•Утворіть у вільному місці шаблон для графіка, натискаючи клавішу «@» (або використовуючи інші методи, описані вище), і надрукуйте x в середній мітці горизонтальної та f(x) — в середній мітці вертикальної осей.
Ви побачите графік подібний наведеному нижче.
Хто знайомий з графіком функції sin(x), може зауважити, що одержаний графік досить грубий. Щоб згладити його, спробуйте змінити область визначення змінної x, наприклад, на x:=0,0.1..10. Чим менше приріст аргументу (крок), тим більше значень функції буде обчислюватися, тим більше точок буде наноситися на графік. Оскільки Mathcad просто сполучає такі точки відрізками ліній, результуюча крива буде більш гладкою.
Крім графіків у прямокутній системі координат, можна також будувати графіки у полярній системі координат (Ctrl+7 або команда «Polar Plot» в меню «Insert/Graph»).
Щоб форматувати графік, двічі натисніть клавішу миші, вказавши на графік (або виконайте команду «Graph» в меню «Format...», а потім виберіть пункти «X-Y Plot» чи «Polar Plot»). З'явиться діалогове вікно форматування графіка, в якому ви можете задати найрізноманітніші його параметри. Проекспериментуйте з різними форматами вашого графіка.
Побудова графіка елементів вектора
Нижче наведено приклад вектора, що зветься «money_spent». Він утворений за допомогою команди «Matrix...» в меню «Insert» і має розмірність 81.
.Щоб вивести на графік ці дані, треба, щоб на горизонтальній осі було:
(a) індекс для вектора «money_spent» або
(b) іншій вектор.
Для випадку (a) спочатку визначить індекс для вектора:
i:=0..7 (наберіть на клавіатурі i:0;7).
Утворіть графік, набираючи «@», а потім
money_spenti (наберіть на клавіатурі money_spent[i)
у мітці-заповнювачі на осі y та i у мітці-заповнювачі на осі x.
Ви побачите графік подібний наведеному нижче.
У випадку (b) визначимо інший вектор з іменем «day».
Визначимо індекс: i:=0..7 (i:0;7).
Утворимо графік, набираючи «@», а потім money_spenti (money_spent[i) у мітці-заповнювачі на осі y та dayi (day[i) у мітці-заповнювачі на осі x. Результуючий графік буде мати вигляд:
Якщо б ми внесли у мітки «money_spent» та «day», а не «money_spenti» та «dayi», Mathcad не міг би знати, які елементи вектора «money_spent» відповідають певним елементам вектора «day». У тій ситуації, що ми маємо, Mathcad знає, що «money_spent0» відповідає «day0», «money_spent1» — «day1» і т. д.
Побудова графіків функцій від елементів вектора
Mathcad може будувати графіки функцій, областю визначення яких є множина елементів вектора. Розглянемо приклад функції f(x):=x2.
Визначить цю функцію, набираючи на клавіатурі: f(x):x^2.
Визначить вектор, елементи якого будуть областю значень функції, що розглядається. Наберіть x:, потім [Ctrl]M, задайте кількість рядків (5) та стовпців (1) у діалоговому вікні «Insert Matrix» та натисніть кнопку «Insert». Нарешті, заповніть мітки шаблона вектора:
.
Визначить область зміни індексу: i:=0..4 (наберіть на клавіатурі i:0;4).
Наберіть на клавіатурі «@» та заповніть мітки величинами f(xi) та xi.
Результуючий графік буде мати вигляд:
Відміна від попереднього випадку полягає в тому, що тут значення функції обчислюються не у рівновіддалених точках, а у точках, розташованих, взагалі кажучи, як завгодно на горизонтальній осі.
Побудова графіків двох або більшої кількості функцій
Для порівняння поведінки двох або більшої кількості функцій має сенс побудувати їх графіки в одному і тому ж місці. Візьмемо, наприклад, функції sin(x) та cos(t) та побудуємо їх на одному графіку. Спочатку задамо самі функції та їх області визначення:
f(x):=sin(x) (наберіть на клавіатурі f(x):sin(x))
g(t):=cos(t) (наберіть на клавіатурі g(t):cos(t))
x:=10,9.9..10 (наберіть на клавіатурі x:=10,9.9..10)
t:=2,1.9..2 (наберіть на клавіатурі x:=2,1.9..2)
•Наберіть «@» у вільному місці.
•Заповніть середню мітку горизонтальної осі, набираючи x,t.
•Заповніть середню мітку вертикальної осі, набираючи f(x),g(t).
•Натисніть Enter.
Результуючий графік буде мати вигляд:
Як бачите, для побудови графіка більше однієї функції треба просто відділяти їх аргументи комами «,».
Форматування математичних виразів та тексту
Ви можете дуже легко модифікувати формати математичних виразів та тексту у робочому аркуші. Ви можете також встановити за умовчанням шрифти, їх розміри та стилі. Вказані атрибути виводяться на панелі форматування:
Якщо ви працювали з текстовими процесорами, то практично все на цій панелі вам знайомо.
У текстовій області виділіть фрагмент, який ви хочете форматувати по-іншому. Він буде виводитись на екран в оберненому кольорі. Тепер ви можете для виділеного фрагменту змінити шрифт, його розмір, накреслення (напівжирний, курсив, підкреслений тощо) за допомогою відповідних кнопок (див. на панель шрифтів).
Інші можливості форматування тексту доступні в меню «Format/Text...».
Відносно зміни шрифтів у математичних виразах зауважимо спочатку, що Mathcad відрізняє змінні (імена змінних і функцій) та константи (числа), і тому ви можете встановлювати різні шрифти для них. З цією метою вкажіть змінну або константу в математичній області та використайте панель шрифтів для відповідних змін.
Mathcad також дозволяє виділяти математичні вирази підвищеною яскравістю. Для цього вкажіть математичний вираз та виконайте команду «Properties/Highlight Region» в меню «Format».
Щоб вибрати інші кольори для заднього плану, тексту, математичних виразів вашого робочого аркуша, які встановлюються за умовчанням, виконайте команду «Color» в меню «Format».
Форматування результатів
Спочатку зробимо декілька важливих зауважень про те, як Mathcad форматує результат обчислень. Розглянемо приклад. Визначимо:
P:=5000r:=.07n:=365
Знайдемо: A(3)=6.168103
Зауважте, що за умовчанням Mathcad подає результат в експоненціальній формі, якщо він перевищує за абсолютною величиною 1000; крім того за умовчанням після десяткової крапки (коми) виводиться 3 цифри. Припустимо, що за приведеною формулою ви підраховували гроші, а, отже, хочете вивести результат у звичайній формі з двома знаками після десяткової крапки. Щоб змінити формат результата, зробіть такі дії:•Двічі натисніть на результат «A(3)=», або вкажіть на результат та виберіть команду «Number» в меню «Format». З'явиться діалогове вікно «Number Format».
•Змініть число у полі «Exponential Threshold» з 3 на 6.
•Змініть число у полі «Displayed Precision» з 3 на 2.
•Натисніть кнопку «OK».
Ви побачите: A(3)=6168.27 .
Зміни у форматі виведення результату, що зроблені вами, є локальними, тобто застосовані тільки до A(3). Якщо ви хочете змінити формат виведення результатів для всього документа, зробіть такі дії:
•Вкажіть на вільне місце документа.
•Виберіть команду «Number» в меню «Format».
•Змініть числа у відповідних полях.
•Натисніть кнопку «OK».
У діалоговому вікні «Number Format» ви також можете контролювати такі характеристики:
•Комплексну толерантність.
•Нульову толерантність.
•Основу числення — вісімкову, шістдесяткову, або десяткову — для цілих чисел.
Зауваження. Точність обчислень у Mathcad'і завжди максимально можлива і не залежить від значень параметрів виведення результатів.
Графіки, побудовані вами, також легко форматуються за допомогою відповідного діалогового вікна, що викликається подвійним натисканням на графіку. Спробуйте встановити різні формати на ваших графіках, а ми наведемо лише два приклади:
Використання одиниць вимірювання
Однією зі зручних можливостей Mathcad'а є те, що він слідкує за стандартними одиницями вимірювання під час розрахунків та конвертує одиниці вимірювання обчислених величин автоматично. Наприклад, ви можете визначити змінну через вбудовану одиницю «кілометр» просто помноживши відповідне їй число на «km». Давайте визначимо радіус та поверхню Землі:
r:=6370km (наберіть на клавіатурі r: 6370km)
A(r):=4r2 (наберіть на клавіатурі A(r):4p[Ctrl]gr^2)
Набравши на клавіатурі A(r)=, ви одержите результат:
A(r)=50991014km2 .
Зауважте, що він отриманий у стандартних одиницях за умовчанням — в даному випадку у системі MKS.
Щоб побачити повний список вбудованих одиниць вимірювання у Mathcad'і, виконайте команду «Unit...» в меню «Insert». З цього ж списку ви можете вставити у потрібне місце вашого робочого аркуша будь-яку одиницю.
Де одержати додаткову допомогу
На цьому закінчується вивчення основ роботи з Mathcad'ом. Зауважимо, що цей посібник складений на основі електронного підручника «The Mathcad Tutorial», який ви можете викликати, виконавши команду «Tutorial» в меню «Help». Додаткові відомості про систему Mathcad можна одержати у різних формах:
•Підкази по інструментам
•Швидкі аркуші
•Інтерактивна допомога
•Контекстно-залежна допомога
•WWW-сервер фірми MathSoft
•Інші ресурси
Кожна з вказаних можливостей описується нижче.
Підкази по інструментам
Вкажіть покажчиком миші на елемент панелі інструментів, або палітри та трохи зачекайте. Ви побачите коротке пояснення по елементу, який вас цікавить, на зразок того, що наведене далі:
Дивіться також на рядок повідомлення, що розташований унизу головного вікна Mathcad'а. Там також з'являються важливі підкази та повідомлення про стан системи, виконані операції, застереження і т. і.
Центр ресурсів та швидкі аркуші
Разом із системою Mathcad поставляються так звані «швидкі аркуші» або «шпаргалки» (QuickSheets). «Швидкі аркуші» є шаблонами для розв'язування багатьох математичних задач, що найчастіше зустрічаються на практиці, — від простих арифметичних перетворень до чисельних або символьних обчислень при знаходженні коренів рівнянь. У системі Mathcad міститься більше, ніж 300 «швидких аркушів», які повністю або частково можуть бути скопійовані у ваш робочий аркуш.
У «швидких аркушах» Mathcad'а знаходяться приклади, згруповані у такі розділи: Аналіз даних, Анімація, Арифметика та алгебра, Бізнес та фінанси, Вектори та матриці, Математичний аналіз, Математичні символи, Побудова графіків, Програмування, Розв'язування рівнянь, Спеціальні функції, Статистика.
Щоб відкрити «швидкі аркуші», виберіть пункт «QuickSheets» у розгорнутій сторінці центра ресурсів. Останній викликається командою «Resource Center» в меню «Help», або натисканням кнопки на панелі інструментів.
Інтерактивна допомога
Меню «Help», подібне аналогічним меню, що використовуються у більшості застосувань, які працюють під управлінням операційної системи Windows, забезпечує користувача детальними покроковими інструкціями по використанню всіх можливостей Mathcad'а — математичних та нематематичних.
Щоб викликати загальну допомогу, натисніть клавішу F1 у будь-який час роботи з Mathcad, або виконайте команду «Help Topics» в меню «Help», або натисніть кнопку на панелі інструментів.
Контекстно-залежна допомогаДопомога у системі Mathcad має контекстно-залежний характер. Це означає наступне. Якщо ви не впевнені у тому, де і як шукати потрібну допомогу, вкажіть об'єкт у вашому робочому аркуші, що вас цікавить (повідомлення про помилку, оператор і т. і.), та натисніть клавішу F1, щоб одержати відповідну інформацію.
Щоб перейти у режим повної контекстно-залежної допомоги у Mathcad'і, натисніть клавіші Shift+F1. Зауважте, що покажчик миші змінить свою форму, перетворившись на стрілку з великим знаком запитання. Тепер ви можете вказати на будь-яку команду меню, повідомлення про помилку, вбудовану функцію і т. д. для одержання відповідної допомоги. Натисніть клавішу Esc, щоб вийти з режиму контекстно-залежної допомоги.
WWW-сервер фірми MathSoft
Якщо ви маєте доступ до мережі Internet, то можете зв'язатися з WWW-сервером фірми MathSoft за адресою: http://www.mathsoft.com. Тут ви можете одержати файли Mathcad'а, інформацію про технічну підтримку та ін.
Інші ресурси
Фірма MathSoft розповсюджує декілька десятків електронних книг з техніки, фізики, математики, статистики, фінансів, освіти тощо. Список деяких із цих книг наводиться нижче.
•Astronomical Formulas by Martin V. Zombeck
•Building Thermal Analysis by Andreas Athienitis
•The CRC Materials Science and Engineering Handbook from CRC Handbook of Chemistry and Physics
•Electrical and Electronics Engineering from Hicks' Standard Handbook of Engineering Calculations
•Electrical Power Systems Engineering by Carl J. Spezia
•Finite Element Beginnings by David Pintur
•Machine Design and Analysis and Metalworking from Hicks' Standard Handbook of Engineering Calculations
•Mathcad Education Library: Algebra I by Benjamin N. Levy
•Mathcad Education Library: Algebra II by Heidi H. Russell
•Mathcad Education Library: Calculus by Jim Rowell
•Mathcad Education Library: Introduction to Ordinary Differential Equations by Lila F. Roberts
•Mathcad Education Library: Precalculus by John A. Goebel
•Mathcad Selections from Numerical Recipes Function Pack
•Mathcad Signal Processing Function Pack
•Mathcad 5.0 Treasury, Volume I: Mathcad Foundations by Paul R. Lorczak
•Mathcad Treasury of Statistics, Volume I: Hypothesis Testing by Paul R. Lorczak
•Mathcad Treasury of Statistics, Volume II: Data Analysis by Donna M. DiFranco
•Personal Finance by Marc Vandenplas
•Queuing Theory by Stephen A. Thomas
•Roark's Formulas for Stress and Strain (6th Edition)
•Roark's Formulas for Stress and Strain (6th Edition), Student Version
•Selected Tables from the CRC Handbook of Chemistry and Physics Theory and Selected Problems of Electric Circuits from Schaum's Outline Series
•Theory and Selected Problems of Electromagnetics from Schaum's Outline Series
•Topics in Mathcad: Advanced Math
•Topics in Mathcad: Electrical Engineering
•Topics in Mathcad: Numerical Methods
•Topics in Mathcad: Statistics
Як ми вже казали у вступі, дві електронні книги — «Desktop Reference» та «Book Sampler» — входять до складу Mathcad'а. Книга «Desktop Reference» містить сотні корисних формул та фізичних констант. У книзі «Book Sampler» наводяться численні приклади розв'язання задач із математики, механіки, фізики, статистики тощо.
Завдання для самостійної роботи
Спростити вирази:
Обчислити:
Обчислити значення функції у заданих точках:
Побудувати графіки функцій:
Знайти границі:
Знайти похідні:
Знайти розклади за формулою Тейлора в околах точок 0 та 1 до порядку 7 включно функцій:
Знайти інтеграли:
Знайти суми:
Знайти добутки:
Розв'язати системи рівнянь:
Знайти матриці, обернені до даних матриць, а також їх визначники:
234–x
1x1+cos*
1+sin*
1
5–2
1;0–x
–1
;1–sin*
1+cos*
1.
123x1–x
111
Знайти характеристичний поліном та власні значення матриць:
0104–5
72–1
2
–3
40;1–4
9;5–3
3.
–2
12–4
05–1
0–2
Знайти градієнти функцій:
Література
MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. Изд. 2-е, стереотип. — М.: Инф.-изд. дом «Филинъ», 1997. — 712 с.