Знаходження коренів рівняння з допомогою підбору параметра

Продемонструємо, як на робочому листі MS Excel за допомогою підбору параметра можна знаходити корені рівняння з одним аргументом. Як приклад розглянемо наступне рівняння:

х3 -0,356x2 -0,756х + 0.03891= 0.

Відомо, що поліном третього ступеня має не більш трьох дійсних коренів.

Для знаходження коренів їх спочатку треба локалізувати, тобто знайти інтервали, на яких ці корені існують. Такими інтервалами локалізації коренів можуть служити проміжки, на кінцях яких функція має протилежний знак. З метою знаходження інтервалів, на кінцях яких функція змінює знак, необхідно побудувати її графік чи протабулювати її. Наприклад, протабулюємо наш поліном на інтервалі [-1; 2] із кроком 0.2. З цією метою:

1. Введіть в чарунку А2 значення -1, а в чарунку АЗ — значення -0,8.

2. Виберіть діапазон А2:А3, розташуєте покажчик миші на маркері заповнення цього діапазону і протягніть його на діапазон А4:А17. Аргумент протабульований.

3. В чарунка В2 введіть формулу:

=A2^3 -0,356*A2^2 -0,756*A2 + 0,03891

4. Виберіть чарунку В2. Розташуєте покажчик миші на маркері заповнення цієї чарунки і протягніть його на діапазон В3:В17. Функція також протабульована.

З рис. 3.18 видно, що поліном змінює знак на інтервалах

[-0,8; -0,6], [0; 0,2] і [1; 1,2], і тому на кожнім з цих інтервалів мається свій корінь. Оскільки поліном третього ступеня має не більш трьох коренів - вони всі локалізовані.

Для того, щоб приступити до знаходження коренів за допомогою підбора параметра, необхідно виконати певну підготовчу роботу:

- встановити точність, з якою будемо знаходити корінь. Корінь за допомогою підбора параметра знаходиться методом послідовних наближень. Для цього виберіть команду Сервіс | Параметри і на вкладці Обчислення діалогового вікна Параметри задайте відносну похибку і граничне число ітерацій рівними 0,00001 і 1000, відповідно.

- відведіть на робочому листі чарунку, наприклад С2, під шуканий корінь. Ця чарунка буде відігравати подвійну роль. До застосування підбору параметра в ній знаходитиметься початкове наближення до кореня рівняння, а після застосування — знайдене наближене значення кореня.

- корінь за допомогою підбора параметра знаходимо методом послідовних наближень. Тому в чарунку С2 треба ввести значення, що є наближеним до шуканого кореня. У нашому випадку, першим відрізком локалізації кореня є [-0,8; -0,6]. Отже, за початкове наближення до кореня доцільно взяти середнє значення цього відрізка, тобто -0,7.

- відведіть чарунку, наприклад D2, під функцію, для якої ведеться пошук кореня, причому замість невідомого в цій функції повинно робитись посилання на чарунку, відведену під шуканий корінь. Таким чином, в чарунка D2 введіть формулу

=С2^3 -0,356*С2^2 -0,756*С2 + 0,03891

Аналогічно необхідно поступити з двома іншими шуканими коренями:

- відведіть чарунку С3 під другий корінь, введіть в неї початкове наближення 0,1, а в чарунку D3 ввести наступну формулу

= С3^3 -0,356*С3^2 -0,756*С3 + 0,03891

- відведіть чарунку С4 під третій корінь, введіть в неї початкове наближення 1,1, а в чарунка D4 введіть наступну формулу

= С4^3 -0,356*С4^2 -0,756*С4 + 0,03891

Тепер можна переходити до знаходження першого кореня рівняння:

1. Виберіть команду Сервіс | Підбір параметра. На екрані відобразиться діалогове вікно Підбір параметра.

2. У поле Установити в осередку введіть посилання на чарунку D2 (рис. 3.18). У цьому полі дається посилання на чарунку, у якій введена формула, що обчислює значення лівої частини рівняння. Для знаходження кореня за допомогою підбору параметра рівняння треба представити в такому виді, щоб його права частина не містила змінної.

3. У полі Значення введіть 0. Тут вказується значення з правої частини рівняння.

4. У полі Зміна значення чарунки введіть С2. У даному полі приводиться посилання на чарунку, відведену під змінну.

5. Натисніть кнопку ОК.

На екрані відображається вікно Результат підбору параметра з результатами роботи команди Підбор параметра. Крім того, знайдене наближене значення кореня розміщується в чарунці С2. У даному випадку воно дорівнює -0,738742.

Аналогічно в чарунках С3 і С4 знаходяться два наступних корені. Вони рівні (рис. 3.19).

Рис. 3.18 - Локалізація коренів полінома і діалогове вікно „Підбір параметра”

Рис. 3.19 – Всі знайдені корені рівняння і діалогове вікно „Результат підбору параметру” після успішного пошуку третього кореня

ЛІТЕРАТУРА

1.Бухвалов А.В. и др. Финансовые вычисления для профессионалов.- СПб.: БХВ-Петербург, 2001.-320с. ил.

2.Гарнаев А.Ю. Excel, VBA, Internet в экономике и финансах.- СПб.: БХВ-Петербург, 2001.- 816с.:ил.

3.Евдокимов В.В. и др. Экономическая информатика. Учебник для вузов. Под ред. Д.э.н., проф. В.В.Евдокимова. – СПб.: Питер, 1997. – 592с.

4.Згуровський М.З., Коваленко І.І., Міхайленко В.М. Вступ до комп’ютерних інформаційних технологій: Навч.посіб. – К.: Вид-во Європ. ун-ту (фінанси, інформ. системи, менеджм. і бізнес), 2000.- 265 с.5.Информатика. Базовый курс/ Симонович С.В. и др.- СПб.: Питер, 2000.- 640с.:ил.

6.Карлберг, Конрад. Бизнес-анализ с помощью Excel.: Пер с англ.- К.: Диалектика, 1997.- 448с.: ил.

7.Лук‘янова В.В. Комп‘ютерний аналіз даних: Посібник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2003. – 344с. (Альма-матер)